Bernoulli Kette Einfache Frage

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Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli Kette Einfache Frage
Hallo,

Ich komme in Mathematik nicht mit den Formulierungen klar.

Als Beispiel:

Der Besitzer eines Uhrgroßhandels versucht illegalerweise seinen Gewinn dadurch zu erhöhen, dass er bei Chargen von 5 Uhren jeweils ein Plagiat zu 4 echten Uhren in die Schactel packt. Im Einzelhandelsgeschäft entnimmt der Verkäufer der Schachtel 2 Uhren und bietet diese dem Kundne an. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
1) Beide Uhren sind echt!
2) Nur die erste Uhr ist echt
3) Eine der beiden Uhren ist echt.

Ich verstehe nie, wann ich was anwenden muss. Habe jetzt 1 miit der Formel von Bernoulli gemacht.



Das kann aber doch eigentlich nicht richtig sein oder?
Was mache ich falsch?

Danke
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

die binomialverteilung passt hier nicht, da nicht "mit zurücklegen" gilt. würde mit zurücklegen gelten, stimmt dein ergebniss aber auch nicht, da du die wkeit ausgerechnet hast, dass bei 5 ziehungen genau 2 uhren echt sind (du hast nämlich n=5 in die formel eingesetzt). hier sind aber nur 2 ziehungen, sprich n=2.

die richtige verteilung ist hier die hypergeometrische oder alternativ geht auch ein baumdiagramm.
 
 
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja.. mist..

Also:



Jetzt richtig?
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

ja, richtig... alternativ hätte man es auch so lösen können:



warum kannst dir ja selber mal überlegen...
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

die sind klar, die wahrscheinlichkeit das ich eine richtige ziehe, aber was hat es mit den auf sich?

Wie mache ich nun Nr. 2? Muss ich da einfach hypogeometrische Verteilung machen und ich ziehe nur eine?
Johann1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3/4 sind enstanden, weil jetzt nur noch 4 Uhren in der Schachtel übrig sind, davon drei echte.

Für die zweite Aufgabe musst du zuerst die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung einer normalen Uhr (4/5) mit der Ziehung eines Plagiats multiplizieren (1/4, da es nur 1 Plagiat gibt, und bei der zweiten Ziehung wieder nur noch 4 Uhren in der Schachtel liegen)



Bei Aufgaben ohne Zurücklegen ändern sich nämlich die Wahrscheinlichkeiten laufend, da sich ja auch die Anzahl ändert.
Die Wahrscheinlichkeit das Plagiat bei der ersten Ziehung zu erwischen ist noch 1 zu 5, da es 5 Uhren gibt und davon eine falsche. Bei der zweiten Ziehung sind es nur noch 4 Uhren, also hat sich die Wahrscheinlichkeit, das Plagiat zu erwischen auf 1 zu 4 erhöht.

Die hypergeometrische Verteilung kann man hier auch verwenden, aber da es sich nur um zwei Ziehungen handelt, bringt das kaum Zeitersparnis.

Jetzt klar? smile

Bei der dritten Aufgabe musst du dann die Wahrscheinlichkeiten für beide Möglichkeiten (1. Uhr echt, 2. falsch; 1. Uhr falsch, 2. echt) berechnen und dann addieren.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, Aufgabe 2 habe ich verstanden.

Bei Aufgabe 3:

Also das die erste echt ist war ja 1/5.
Und das muss ich nun addieren mit der Wahrscheinlichkeit das genau die Zweite ein Treffer ist.
Wie stell ich da nun die Formel auf...
Es tut mir Leid...
Ich habe einfach keine Ahnung von dem Thema und bis zu Abi sollte ich es draufhabensmile

Ansatz;


Ist das richtig?

Das dann addieren und dann käme ich auf
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jefferson1992
okay, Aufgabe 2 habe ich verstanden.

Bei Aufgabe 3:

Also das die erste echt ist war ja 1/5.
Und das muss ich nun addieren mit der Wahrscheinlichkeit das genau die Zweite ein Treffer ist.
Wie stell ich da nun die Formel auf...
Es tut mir Leid...
Ich habe einfach keine Ahnung von dem Thema und bis zu Abi sollte ich es draufhabensmile

Ansatz;


Ist das richtig?

Das dann addieren und dann käme ich auf


das macht mehr oder weniger kein sinn. wie kommst du denn auf 1/3? es lässt sich wieder über die hypergeometrische verteilung lösen. also n=2 ziehungen und k=1 (genau ein treffer). alternativ und so würde ich es lösen:


Zitat:

beide Möglichkeiten (1. Uhr echt, 2. falsch; 1. Uhr falsch, 2. echt) berechnen und dann addieren.


d.h. (wkeit erste uhr echt zweite uhr falsch)+ (wkeit erste uhr falsch zweite echt)
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe glaube ich das Verfahren nicht..
hmm..
*verzweifel*

unglücklich
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

der ausgang GENAU EINE der beiden uhren ist echt kann durch folgende situationen eintreten:

1)entweder der verkäufer nimmt zuerst eine echte uhr aus der kiste, dann muss er aber beim zweiten griff eine falsche ziehen. (wenn nicht wäre nämlich beide uhren echt)

oder

2)er zieht als erstes eine falsche uhr, danach muss er aber eine richtige ziehen.

diese beiden situationen führen also zu dem ausgang aus der fragestellung. wie du siehst ist also die reihenfolge der ziehungen WICHTIG! wir haben hier also das modell urne OHNE zurücklegen mit berücksichtigung der reihenfolge. dieses modell kann man allgemein mit der hypergeometrischen verteilung lösen.
d.h. die parameter sind n=2 (er nimmt nämlich 2 uhren aus der kiste, welche N=5 uhren enthält). k=1 entspricht der anzahl der treffer bzw. genau eine uhr ist echt. einsetzen fertig.

da aber nur 2 ziehungen statt finden, ist es hier so gesehen auch leicht ohne der hypergeometrischen verteilung ans ziel zu kommen(aber nicht notwendig). dazu betrachten man die beiden fälle 1) und 2). da diese beiden fälle die fragestellung erfüllen, muss mandie wahrscheinlichkeit von 1) und die wahrscheinlichkeit von 2) addieren.

die wkeit von 1) = erste echt zweite falsch lässt sich so berechnen:

beim ersten griff in die kiste sind 4 von 5 uhren echt sprich die wahrscheinlichkeit beim ersten griff eine echte zu ziehen ist . zieht also der verkäufer beim ersten zug eine echte uhr bleiben in der kiste nur noch 4 uhren übrig wovon 3 echt sind und eine falsch. beim zweiten zug muss er aber eine falsche ziehen, die wkeit ist dann . eine von vier uhren ist nämlich falsch. zusammenfassend ala baumdiagramm oder multiplikationsregel oder wie diese ganzen regeln heissen gilt:
wahrscheinlichkeit das er zuerst eine echte uhr zieht dann eine falsche beträgt:



damit ist 1) gelöst. jetzt muss man 2) analog lösen. danach addiert man es und bekommt das gleiche ergebnis raus wie mit der hypergeometrischen. als übung würde ich dir beide ansätze empfehlen.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab es jetzt gelöst:
Und zwar so:



Bei dem Alternativen kommt ja beim ersten Fall 0.2 raus,
beim zweiten haben wir ja die Wahrscheinlichkeit von 0.2 am Anfang eine Falsche zu ziehen und danach 100% eine richtige zu ziehen also 0.2*1 = 0.2

Die Wahrscheinlichkeiten addiert ergeben wieder die 0.4

Ist das richtig so?

Ich habe noch weitere Übungsaufgaben, die werde ich auch mal bearbeiten udn wenn ich fragen habe, hier reinstellen.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jefferson1992
Ist das richtig so?


Freude
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Nummer 3 ist ja gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei 2 Ziehungen einer der Uhren echt ist.

Muss da dann nicht eigentlich 100% rauskommen?

Denn wenn ich es erste Mal ziehe und ich habe was falsches, dann ist die nächste ja auf jedenfall eine richtige Uhr. Somit müsste das doch prinzipiell 100& sein?

Wieso habe ich 40% raus?
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

es ist schonmal gut das du drüber nachdenkst. ich habe dieses "GENAU eine uhr ist echt" so betont weil man es nicht verwechseln soll mit mindestens eine uhr ist echt. mindestens eine uhr ist echt wäre 100%. die frage ist, wie man die fragestellung interpretiert. ich bin mir schon recht sicher, dass der genau eine uhr fall gemeint ist, sollte es nicht so sein hast du recht.

übrigens noch ne dritte alternative für aufgabe 3 wäre z.b. folgender ansatz.

zuerst überlegt man sich was kann überhaupt alles passieren bei 2 ziehungen?

es kann echt echt, falsch echt, echt falsch gezogen werden. mehr möglichkeiten gibt es nicht.
kurz (e,e), (f,e), (e,f).

d.h. die wkteit von (e,e)+(f,e)+(e,f) = 1 = 100% . (eins von diesen passiert nämlich auf jeden fall).

daraus folgt, die wkeit von (f,e)+(e,f)=1-(e,e)

die wkteit von (e,e)=

1-0.6=0.4

das verfahren ist auch recht gängig, man bestimmt nämlich die wkeit über das gegenereigniss. sinnig ist es, falls das gegenereignis leicht bestimmbar ist. (hier ist das gegenereigniss übrigens (e,e) ). jetzt klarer???
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn der Unterschied zwischen genau eine ist richtig, oder mindestens eine >Uhr ist echt?
Es ist doch nur ein Plagiat vorhanden, Also ist doch logisch das ich bei Zwei Ziehungen auf jedenfall eine Richtige ziehe...
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

in diesem fall ist genau eine FALSCH also plagiat und mindestens eine falsch dasselbe.

aber wir reden hier von genau einer ECHT oder mindestens eine ECHT.

genau eine echt beschreibt folgende situationen:

zuerst echt, dann falsch oder zuerst falsch dann echt.


mindestens eine echt:

zuerst echt, dann falsch oder zuerst falsch dann echt oder erst echt dann wieder echt.


Zitat:
Also ist doch logisch das ich bei Zwei Ziehungen auf jedenfall eine Richtige ziehe...


richtig. aber es kann ja wie gesagt auch vorkommen das du zwei richtige ziehst, dann erfüllst du nicht mehr die bedingung GENAU eine richtige. dann hast du nämlich GENAU zwei richtige was von der aufgabenstellung abweicht!
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich verstanden! Dankesehr!
Und ich gehe mal davon aus, dass genau eine der Uhren ist echt gemeint ist, da es sonst denke ich mal zu einfach wäre.

Diese Aufgabe schonmal verstandensmile Danke

Die b) ist, dass 2-3-4 Plagiate vorhanden sind und es sollen daqfür die Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet werden.

Habe da folgendes:







Erklärung: Wir haben insgesamt 5 Uhren, davon 2 Plagiate. Es werden 2 Uhren gezogen.
Gefragt ist : Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass der Kunde mindestens ein Plagiat erhält.

Ist das richtig? Und wenn ja, warum kommt beim 2. und 3. Fall das Gleiche raus`?
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich es richtig verstehe ist das eine neue aufgabe bzw. neue werte?? schreib am besten mal die aufgabe und die fragestellung vollständig auf.

aber ich kann dir jetzt schon sagen, dass du sehr wahrscheinlich falsch gerechnet hast.
schreib auch mal die hypergeometrische verteilung ganz allgemein auf, dann sehe ich mal wie ihr die variablen nennt. ich glaub es wäre ganz gut, wenn du mal siehst für was welche variable genau steht.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu der bsmile

Der Verkäufer erhält als nächstes Chargen mit jeweils 5 Uhren, bei denen sogar 2 (3 bzw 4) Plagiate sind. Bestimmen Sie für diese drei Fälle jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit der der Kunde bei zwei vorgelegten Uhren aus einer Charge mindestens ein Plagiat erhält.

Habe ein Wahrscheinlichkeitsbaum gemacht.

Die Chance das man bei 2 Plagiaten ein richtiges bekommt, liegt bei 3/5. Ein Plagiat bekommt man mit der Wahrscheinlichkeit 1/5.

Dann beim zweiten Zug: Wenn man vorher ein richtiges gezogen hat, ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nun ein Plagiat zieht bei 1/2.

DIe rechnet man zusammen und kommt auf ein Ergebnis von:

0.3

Laut meinen Lösungen soll 0.7 rauskommen!

Was mache ich jetzt schon wieder falsch?
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

deine vorgehensweise ist falsch.
da ich deine notation nicht kenne, verwende ich jetzt mal meine.

situation: uhren, ziehungen, plagiatanteil (für 3 und 4 geht man analog vor)

X= anzahl der plagiate
gesucht:

Wahrscheinlichkeit mindestens 1 plagiat

X ist hypergeometrischverteilt, d.h. es lässt sich

wahrscheinlichkeit genau k plagiate unter n ziehungen

mittels hypergeometrischerverteilung bestimmen.

gesucht ist ja mindestenst ein plagiat, das lässt sich z.b. auf diese zwei arten bestimmen:



oder alternativ über das gegenereignis:




zur erinnerung nochmal die hypergeometrische verteilung:

dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dinzeoo



da hab ich mich vertan... sind ja nur zwei ziehungen, da ergibt P(X=3) usw. keinen sinn. richtig ist:

Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay, jetzt habe ich verstanden, was ich die ganze Zeit falsch mache... Dankesmile

Zu einer anderen Aufgabe:

Ein Zufallsexperiment besteht darin, zunächst eine Kugel aus Urne A und danach aus Urne B zu ziehen.

Urne A: 3 mal 5, 2 mal 6, 3 mal 8
Urne B: 2 mal 0, 3 mal 1, 3 mal 2

a) Der Spieler zahlt bei einem Glücksspiel 2 € pro Spiel als EInsatz an die Bank. Hat die aus Urne B gezogene Kugel die Nummer 0, so wird nichts ausgezahlt. ( Der Spieler erhält auch seinen EInsatz nicht zurück). Hat die aus Urne B gezogene Kugel die Nummer 1, so muss der Spieler weitere 2€ an die Bank bezahlen. Hat die aus Urne B gezogene Kugel die Nummer 2, so bekommt der Spieler den Betrag der Differenz der Nummern der beiden gezogenen Kugeln in € von der Bank ausgezahlt. Die Zufallsgröße X soll den "Gewinn" (also Auszahlung minus Einsatz) in € angeben. Bestimme Sie den Erwartungswert dieser Zufallsgröße X und interpretieren Sie das erhaltende Ergebnis.

Da habe ich zuerst eine Tabelle gemacht mit den Werten und dann die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet. Dann die Einzelwahrscheinlichkeiten mit den Eurobeträgen multipliziert und dann addiert.

Kommt -1.11€ raus.
Das ist auch richtigsmile

Der Spieler verliert also auf lange Sicht 1.11€.

Nun zu meinem Problem:

b) Gehen Sie avon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Höchstgewinn etwa 14% beträgt. Berechnen Sie dami, wie viele Spiele ein Spieler machen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% einem dieser Speiel einen Höchstgewinn erzielt.









Ein Spieler muss mindestens 10 Spiele machen, um eine Höchstgewinn zu erreichen.

Ist das richtig?
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

zu b) bekomm ich n=16 raus. deine idee ist richtig, was ist denn ln(0.1)/ln(0.86)?

die lsg der a) hab ich nicht nachgerechnet.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab mich verschrieben...
Die ln 0.8 sind richtig, nicht die 0.86.

Das erste haben wir schon im Unterricht besprochen,d ass habe ich aufjedefnall richtig.

Danke für die große Hilfe. Echt Danke.

Morgen Klausur.
Ich hoffe, dass das irgendwie klappt.

4 Stunden Mathe LK...
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch noch ne Frage und zwar bei folgender Aufgabe:

Ein Würfel wird n-mal geworfen. Bestimmen Sie für n=3000 die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der Würfe mit der Augenzahl 6 nicht um mehr als 5% vom jeweiligen Erwartungswert (nach oben oder nach unten) abweicht. Benutzen Sie die Normalverteilung.

Die Formel lautet ja:

(K+0.5-mü)/sigma

So mü ist ja der Erwartungswert:



sigma ist ja die standartabweichung:



Aber was setze ich für K ein?

Danke
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

K ist deine abweichung nach oben und nach unten. erwartungswert ist mu=500.
zuerst bestimmt man wieviel 5% überhaupt vom erwartungswert sind.
500*0.05=25
d.h.
zu bestimmen ist mit welcher wahrscheinlichkeit 6 in diesem intervall



liegt.

formell ist das dann: (im ersten gleichheitszeichen wird jetzt deine formel angewendet)



(-0.5 auf der linken seite und +0.5 auf der rechten seite ist richtig, nicht das du denkst ich hab mich vertippt)

das nennt sich übrigens standardisieren, jetzt ist nämlich standard normalverteilt und es gilt



und was ist, schaust du in deiner tabelle der standardnormalverteilung...
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das ausgerechnet:



Was genau sagt mir diese Zahl jetzt aus?

Eine weitere Frage, wir beißen uns alle an dieser Aufgabe die Zähne aus:

An einer Stadtstraße ist vor einer Schule Tempo 50 erlaubt. Bei einer Polizeikontrolle wird die Geschwindigkeit von 500 Fahrzeugen überprüft. 86 Fajrzeuge fahren 55km/h oder mehr. Auf Veranlassung des Bürgermeisters wird ein Schild mit der Aufschrift Zulässige Höchstgeschwindigkeit 50km/h aufgestellt. Danach kontroliert die Polizei noch einmal. Diesmal fahren 79 Fahrzeuge von 500 55km/h oder mehr. Kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit a<5% behaupten, die Verringerung sei auf das Aufstellen des Schildes zurückzuführen.

Wir haben die 95% Regel angewandt, da kam dann 69 raus, Es soll aber laut unserem Lehrer 72 rauskommen...
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jefferson1992
Habe das ausgerechnet:



Was genau sagt mir diese Zahl jetzt aus?


nachgerechnet hab ich diese zahl nicht. aber sofern sie stimmt, sagt das ergebnis folgendes:

bei 3000 würfen liegt die anzahl der sechsen mit einer wahrscheinlichkeit von 78.69% zwischen 475 und 525.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jefferson1992
Wir haben die 95% Regel angewandt, da kam dann 69 raus, Es soll aber laut unserem Lehrer 72 rauskommen...


wie eure regel aussieht weiss ich nicht, ich bekomm auch 72 raus.

man kann es so nachprüfen:
X=anzahl der personen die schneller als 55km fahren

X ist binomialverteilt mit

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