Grenzwerte gegen 0+0 von Folgen

06.12.2011, 14:49

chrlan

Grenzwerte gegen 0+0 von Folgen

Meine Frage:
Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren und berechnen Sie sie gegebenenfalls.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+0} x\log\left( 1+e^{\frac 1 x}\right),\qquad \lim_{x\to 0+0} x^x ,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{x \sin x}{1- \cos x}. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kann ehrlich gesagt mit dem 0+0 nichts anfangen.

06.12.2011, 15:01

klarsoweit

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RE: Grenzwerte gegen 0+0 von Folgen
x --> 0+0 bedeutet, daß x gegen Null geht, aber zusätzlich auch nur x > 0 betrachtet wird.

06.12.2011, 16:12

chrlan

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kann ich das nicht mit einschließungssatz machen bei der ersten:

$\begin{eqnarray*} x\log\left(e^{\frac 1 x}\right)\le x\log\left(1+e^{\frac 1 x}\right)\le x\log\left(e\cdot e^{\frac 1 x}\right) \end{eqnarray*}$

müsste doch gehen für x gegen 0??

06.12.2011, 17:01

chrlan

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wenn ich das so mache komme ich auf einen grenzwert von 1.
wie kann ich das denn bei der zweiten und dritten machen?

06.12.2011, 17:20

original

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RE: Grenzwerte gegen 0+0 von Folgen

Zitat:

Original von chrlan
Grenzwert berechnen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{x \sin x}{1- \cos x}. \end{eqnarray*}$
.

Vorschlag:
verwende die bekannten Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{ \sin x}{x}=1 \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{1- \cos x}{x^2}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

.

06.12.2011, 17:49

chrlan

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aber ich hab ja

$\begin{eqnarray*} x \sin x \end{eqnarray*}$
wenn ich das dann erweiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2\sin x}{x} \end{eqnarray*}$
dann läg der grenzwert ja bei:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin x}{x}=0\cdot 1 =0 \end{eqnarray*}$

und dann läg der grenzwert des gesamten ja auch bei 0.
kann man das so einfach folgern?

07.12.2011, 00:21

dr.morrison

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Hi,

also für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\sin\left(x\right)x \end{eqnarray*}$ brauchst Du nicht zu erweitern, da beide Faktoren gegen 0 gehen. Das "Gesamte" muss überhaupt nicht gegen 0 gehen (ganz wichtig!), wenn sowohl Zähler wie Nenner gegen 0 streben für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ . Ich leg noch mal einen Tipp drauf: Erweitere so den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{x\sin\left(x\right)}{1-\cos\left(x\right)} \end{eqnarray*}$ so, dass Du den Tipp von original verwenden kannst. Das hast Du in gewisser Weise schon gemacht, aber wie gesagt, probiers mal für den ganzen Bruch.

Liebe Grüße, Dr.Morrison

07.12.2011, 08:33

chrlan

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kann man das nicht vllt irgendwie mit l'hospital machen?
geht ja beides gegen 0.

07.12.2011, 09:59

dr.morrison

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Ja, das geht. Ich finde aber, dass du wesentlich schneller bist, wenn Du dir einfach mal
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}\sin\left(x\right)}{x \left(1-\cos\left(x\right)\right)} \end{eqnarray*}$ anschaust.

07.12.2011, 10:45

original

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.
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}\sin\left(x\right)}{x \left(1-\cos\left(x\right)\right)}= \frac{\frac{\sin(x) }{x} }{\frac{\left(1-\cos\left(x\right)\right)}{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

07.12.2011, 10:52

dr.morrison

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Und jetzt überleg Dir, gegen was Zähler und Nenner konvergieren. Überlege Dir aber genau, warum die von original angegebenen Grenzwerte so sind und nicht anders!

07.12.2011, 11:02

René Gruber

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Als kleine Variation kann man $\begin{eqnarray*} \frac{x \sin x}{1- \cos x} \end{eqnarray*}$ auch erstmal mit $\begin{eqnarray*} 1+\cos x \end{eqnarray*}$ erweitern, dann genügt bereits die Kenntnis des erstgenannten Grenzwertes $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{ \sin x}{x}=1 \end{eqnarray*}$ , bzw. dann wohl eher in der Form $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

07.12.2011, 11:13

dr.morrison

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@ rene: Da hast du wohl recht, das ist viel eleganter!

08.12.2011, 10:06

chrlan

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wieso genügt da nur der erste grenzwert?
wenn ich das so erweiter habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{x\sin (x) + x\sin (x)\cos (x)}{1-\cos^2 (x)} \end{eqnarray*}$

ich glaube euch, dass das geht, verstehe aber eure umformung nicht.

08.12.2011, 10:16

René Gruber

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Na, wenn man es SO schreibt, d.h. völlig unnötigerweise auch noch ausmultipliziert, sieht es natürlich ziemlich bescheuert aus. Teufel

Der trigonometrische Pythagoras $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(x)=\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ sollte eigentlich allgemein bekannt sein, und mit dem ergibt sich dann gekürzt

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sin(x)}\cdot (1+\cos(x)) \end{eqnarray*}$ .

08.12.2011, 14:00

Lunali

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@ chrlan
wie kommst du denn bei der 1. aufgabe auf einen grenzwert von 1?
$\begin{eqnarray*} x\log\left(e^{\frac 1 x}\right)\le x\log\left(1+e^{\frac 1 x}\right)\le x\log\left(e\cdot e^{\frac 1 x}\right) \end{eqnarray*}$

dann mussen doch alle diese folgen gegen 1 laufen oder? aber wie kommst du darauf? ich komme auf 0

08.12.2011, 14:54

Lunali

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versteh ich das jetzt richtig das der ganze term
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sin(x)}\cdot (1+\cos(x)) \end{eqnarray*}$

fuer x gegen 0 einfach nur gegen 1 laeuft und man den $\begin{eqnarray*} (1+\cos(x)) \end{eqnarray*}$ term nicht beachten muss?

08.12.2011, 17:13

chrlan

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ich versteh nicht wie du auf 0 kommst^^.

$\begin{eqnarray*} x\log \left(e^{\frac 1 x}\right)=\frac x x = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\log \left(e\cdot e^{\frac 1 x}\right)=x\log \left(e^{\frac{x+1}{x}}\right)=x+1\underset{x\to 0}\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$

nach einschließungssatz folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+0} x\log\left(1+e^{\frac 1 x}\right)=1 \end{eqnarray*}$

08.12.2011, 17:51

Lunali

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ach so gut danke =)
weist du denn vllt auch ob man $\begin{eqnarray*} (1+\cos(x)) \end{eqnarray*}$ nicht beachten muss und dann der ganze term wegen x/sin (x) gegen 1 läuft?

08.12.2011, 18:55

Thobi

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wie geht das denn bei der b). sieht irgendwie leicht aus, komme aber nicht ganz drauf, wie man das machen soll

09.12.2011, 00:13

maths_1

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ich hoffe jemand erhört mein rufen.

kann ich die zweite folge nicht mit dem wurzelkriterium lösen? verwirrt

oder geht das nicht?

09.12.2011, 09:15

Thobi

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kommt bei der b) als grenzwert 0 raus?
ich hab das auch mit dem Wurzelkriterium gemacht:

lim sup x-te wurzel von |x^x| = x und für x->0 ist es dann 0. oder stimmt das so nicht?

09.12.2011, 11:09

original

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.
Nein, Thobi, bei b) kommt nicht der Grenzwert 0 heraus

denk also nochmal neu nach ..

und bei a) scheint mir immer noch nicht geklärt, wie der Grenzwert dort aussieht - oder?
obwohl die Tipps dazu doch klar und deutlich sind?

09.12.2011, 11:22

Thobi

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aber das wurzelkriterium ist schon richtig oder muss ich da was anderes verwenden?

ist nicht bei der a) der Grenzwert 1?

09.12.2011, 11:31

original

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Zitat:

Original von Thobi
aber das wurzelkriterium ist schon richtig oder muss ich da was anderes verwenden?

ist nicht bei der a) der Grenzwert 1?

wie willst du mit dem Wurzelkriterium ("Konvergenzkriterium für unendliche Reihen" )
denn einen Grenzwert für x-> 0+ von f(x)=x^x ermitteln?

und :
NEIN der Grenzwert von a) ist NICHT 1
unglücklich

09.12.2011, 11:32

maths_1

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kann ich das "sandwich-kriterium" verwenden? denn dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} x^x = e^{x \cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x < e^{x \cdot ln(x)} < e^{(x^2)} \end{eqnarray*}$ die kleinere bzw die größere funktion gehen beide gegen 1, somit muss auch die funktion dazwischen gegen eins konvergieren für x-->0 verwirrt

ich hoffe jemand kann hier noch schnell seine antwort zu meine lösung posten

09.12.2011, 11:35

Thobi

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hää? jetzt bin ich ganz verwirrt, was ist denn sonst der grenzwert von a) ?

09.12.2011, 13:06

HAL 9000

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Bitte nicht die Basis-Grenzwertregeln ignorieren!

Zitat:

Original von Lunali
versteh ich das jetzt richtig das der ganze term
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sin(x)}\cdot (1+\cos(x)) \end{eqnarray*}$

fuer x gegen 0 einfach nur gegen 1 laeuft und man den $\begin{eqnarray*} (1+\cos(x)) \end{eqnarray*}$ term nicht beachten muss?

Nein: Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sin(x)}\to 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 1+\cos(x)\to 1+\cos(0)=2 \end{eqnarray*}$ beim Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ . Was passiert also mit dem Produkt?

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