Lineares Gleichungssystem mit 3 Parametern, komme nicht weiter!

06.12.2011, 14:53

WundI!=WI

Lineares Gleichungssystem mit 3 Parametern, komme nicht weiter!

Hallo zusammen!
Zunächst einmal: Respekt! Ihr habt hier ein nettes Board aufgebaut! Ich bin mir sicher, dass bereits viele von den hier gemachten Hilfestellungen profitiert haben!

Ich habe folgende Aufgabe:
Welche Bedingungen müssen a,b,c erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem lösbar wird?
Kann es eine eindeutige Lösung geben?

Zur Lösbarkeit weiß ich folgendes:
0 0 0 ... = 0 -> unendlich viele Lösungen (freier Parameter)
0 0 0 ... = ungleich 0 -> falsche Aussage, lineare Gleichungssystem unlösbar
0 0 0 ... 1 = irgendeine Zahl -> genau eine Lösung

Stimmt das soweit?

Jetzt die konkrete aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 6 & -11 \\ 1 & -2 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht, dass Gleichungssystem mit dem Pivotverfahren (Verfahren der vollständigen Elimination?) zu lösen.
Folgendes ist nach dem 2. Pivotschritt herausgekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1,5 & \\ 0 & 1 & -2,5 & \\ 0 & 0 & 0 & \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 3a-2b\\-a+b\\-6a+4b+2c \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Puuh! Das war vielleicht eine Latexarbeit! geschockt

Aber sieht fein aus, oder? Freude

Nun, da ich das Gleichungssystem nicht weiter fotführen kann, dachte ich an folgendes:

Das lineare Gleichungssystem ist unendlich oft lösbar, wenn -6a + 4b +2c = 0 sind.
Das lineare Gleichungssystem ist nicht lösbar, wenn -6a + 4b +2c = unglich 0 sind.
Das lineare Gleichungssystem kann nicht eindeutig lösbar sein, da ein freier Parameter vorhanden ist.

Habe ich soweit richtig gerechnet?
Kann ich die einzelnen Parameter bestimmen, oder reicht die obige Aussage ( -6a + 4b +2c = 0 ) aus?
Wie kann man den Satz mit der eindeutigen Lösbarkeit am Geschicktesten formulieren? Ist das so korrekt und ausreichend formuliert?

Ich hoffe auf eifrige Mithilfe und bedanke mich für jede Art von Hilfestellungen!

smile

06.12.2011, 15:44

original

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RE: Lineares Gleichungssystem mit 3 Parametern, komme nicht weiter!

Zitat:

Original von WundI!=WI
Jetzt die konkrete aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 6 & -11 \\ 1 & -2 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das lineare Gleichungssystem ist unendlich oft lösbar verwirrt

, wenn -6a + 4b +2c = 0 sind.

richtig ist:
da die Koefizientendeterminante den Wert 0 hat , gibt es entweder beliebig viele Lösungen
oder keine ...

ich sehe nicht, wie du auf -6a + 4b +2c = 0 kommst..?

meine Antwort ist:
Das System wird beliebig viele Lösungen haben, wenn 5a = 2b + c
... und keine Lösung sonst..
aber vielleicht habe ich mich ja verrechnet ?

.

06.12.2011, 17:59

WundI!=WI

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Zitat:

richtig ist:da die Koefizientendeterminante den Wert 0 hat , gibt es entweder beliebig viele Lösungenoder keine ...

Genau das wollte ich ausdrücken, herzlichen Dank!

Zitat:

ich sehe nicht, wie du auf -6a + 4b +2c = 0 kommst..?

Ich werde meine Lösung mal detailiert posten:

1. Schritt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 6 & -11 \\ 1 & -2 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 6 & -11 \\ 1 & -2 & 7 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Rechnung erste Zeile:
Zeile wird durch eins geteilt, bleibt also identisch.
= 1 2 -3 | a

Rechnung zweite Zeile:
Zeile wird mit 2 * der neuen ersten Zeile subtrahiert:

......2 6 -11 | b
- (2(1 2 -3. | a))
...= 0 2 -5 | b-2a

Rechnung mit dritter Zeile:
Dritte Zeile wird mit der neuen ersten Zeile subtrahiert:

. 1 -2 7 | c
. -1 2 -3 | a
= 0 -4 10 | c-a

Ende erster Durchlauf. Die neue Matrix sieht nun so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & -5 \\ 0 & -4 & 10 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{matrix} a \\ b-2a \\ c-a \end{matrix} \end{eqnarray*}$

############################################

Zweiter Durchlauf:

Rechnung zweite Zeile:
Zweite Zeile wird mit 2 dividiert.

. 0 2 -5 | b-2a
/ 2
= 0 1 -2,5 | b-a

Rechnung mit erster Zeile:
Erste Zeile wird mit dem 2-fachen von der neuen zweiten Zeile subtrahiert:

.....1 2 -3 | a
-(2(0 1 -2,5 | b-a))
=...1 0 1,5 | a-2b+2a
bzw. 1 0 1,5 | 3a-2b

Rechnung mit dritter Zeile:
Dritte Zeile wird mit dem -4 fachen der neuen zweiten Zeile subtrahiert:

......0 -4 10 | c-a
-(-4(0 1 -2,5 | b-a))
=....0 0 0 | c-a+4b-4a
bzw. 0 0 0 | -5a+4b+c

Ende zweiter Durchlauf. Die neue Matrix sieht nun so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1,5 \\ 0 & 1 & -2,5 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 3a-2b \\ b-a \\ -5a+4b+c \end{matrix} \end{eqnarray*}$

######################################

Da der nächste Pivotelement 0 ist bzw. mit deinem Begriff die nächste Koefizientendeterminante null ist, müssen wir das Verfahren abbrechen.

Also das Endergebnis ist laut meiner Berechnung (sieht bisschen anders aus als die erste Berechnung mit: -6a + 4b +2c = 0):
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1,5 \\ 0 & 1 & -2,5 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 3a-2b \\ b-a \\ -5a+4b+c \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wieso du den Parameter auf die andere Seite geholt hast.

5a = 2b + c

Bitte um weitere Antworten. Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Ist der Lösungsweg evtl total falsch (falscher Ansatz)?

07.12.2011, 00:44

original

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Zitat:

Original von WundI!=WI

Ich verstehe nicht, wieso du den Parameter auf die andere Seite geholt hast.

5a = 2b + c

Frage war:
Welche Bedingungen müssen a,b,c erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem lösbar wird?

und ob du nun die Antwort so notierst:
-5a + 2b + c =0
oder so:
5a = 2b + c
das ist den drei Parametern egal, da es sich doch offensichtlich um dieselbe "Bedingung" handelt,
die erfüllt sein sollte, damit das lineare Gleichungssystem lösbar wird..

ok?
und vielleicht erbarmt sich hier noch ein anderer Ratgeber
und sagt dir, was nun stimmt und wo eventuelle Fehler gemacht wurden.

09.12.2011, 23:30

WundI!=WI

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Zitat:

und ob du nun die Antwort so notierst:-5a + 2b + c =0oder so:5a = 2b + cdas ist den drei Parametern egal

peinlich, das hätte ich sehen müssen.

stimmen unsere ergebnisse aber auch? hoffe ein dritter beteiligt sich an dieser aufgabe.

lg

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