Schnittgerade zweier Ebenen

06.12.2011, 15:27

Christian_P

Schnittgerade zweier Ebenen

Ich hab zwei Ebenen gegeben.

E: $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und F: $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+p\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+q\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich die Schnittgerade g bestimmen.

Dazu habe ich folgendes überlegt: Die beiden Ebenen haben jeweils zwei Richtungsvektoren, die auf der jeweiligen Ebene entlang laufen. Wenn ich jetzt einen Parameter z.B. t in der Ebenen E auf Null setzte, dann fällt dieser Vektor weg und ich habe nur noch eine Geradengleichung, die die andere Ebene durchstoßen muss (wenn die Ebenen nicht parallel sind). Ich könnte dann diese Gerade in E und die Ebene F gleichsetzen und erhielte dann den Durchstoßpunkt, also einen Punkt der Schnittgeraden der beiden Ebenen. Das Ganze müsste ich für einen weiteren Punkt dann noch einmal wiederholen.

Sind diese Überlegungen richtig, oder gibt es vielleicht einen einfacheren Weg, die Schnittgerade zu ermitteln?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+p\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+q\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt das System:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*} 6& =2q \\ -3 &=s-q \\ -3&=-p+3q \end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q=3 \quad s=0 \quad p=12 \end{eqnarray*}$

ich nutze s=0

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\quad \quad P_1\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann wäre dies ein erster Punkt der gesuchten Schnittgeraden.

gibts einen kürzeren Weg?

Grüße,
Christian

06.12.2011, 15:42

riwe

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen
setze beide ebenen gleich und drücke (z.b.) s durch t aus. und gehe damit in E, schon bist du fertig Augenzwinkern

08.12.2011, 13:30

Christian_P

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen

Zitat:

Original von riwe
setze beide ebenen gleich und drücke (z.b.) s durch t aus. und gehe damit in E, schon bist du fertig Augenzwinkern

Jaaa! So geht's! smile

Hat geklappt.

dankbare Grüß,
Christian

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