Zeigen, dass Poisson-Prozess poissonverteilt ist

06.12.2011, 16:21	Ideenlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass Poisson-Prozess poissonverteilt ist Die Aufgabe lautet, zu zeigen, dass die Anzahl der Ereignisse in einem Zeitintervall (0,t] in einem Poisson-Prozess mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ poissonverteilt sind. Ich denke mal, dass mit Anzahl der Ereignisse eigentlich die Wahrscheinlichkeit dafür, eine bestimmte Anzahl an Ereignissen in diesem Zeitintervall zu beobachten, gemeint ist. Ich bin mir nicht sicher, ob mein Verständnis eines Poisson-Prozesses ganz akkurat ist: Man hat eine Exponentialverteilung die durch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ parametrisiert ist: $\begin{eqnarray} P(a \leq X \leq b) = \int_a^b \lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Die Eigenschaft, dass die Zeiten zwischen zwei Ereignissen exponentialverteilt sind interpretiere ich so, dass die Wkt. dafür genau ein Ereignis (k=1) im Zeitintervall t anzutreffen wie folgt lautet: $\begin{eqnarray} P_{\lambda,t}(k=1) = P(0 \leq X \leq t) \end{eqnarray}$ Falls dies überhaupt stimmt, ist mir nicht bewusst, wie sich Wkt. für eine andere Anzahl als 1 ergeben: $\begin{eqnarray} P_{\lambda,t}(k=n) = ? , n\in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ Kann ich obige Wkt. berechnen, soll ich die Poissonverteilung mit Induktion über k zeigen, was mir wohl eher keine Schwierigkeit bereiten sollte. Also würde ich nur gerne die oben genannte Wkt.verteilung wissen, sofern ich nicht was fundamental falsch verstehe. Vielen Dank
06.12.2011, 16:36	Ideenlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte nur auf der deutschen Wikipedia und anderen Seiten nachgeschaut, jetzt aber auf der en. Wikipedia eben die eigentliche Poissonverteilung für den Poissonprozess gesehen und festegestellt, dass ich auch mit k=1 für $\begin{eqnarray} P_{\lambda , t}(k=1) \end{eqnarray}$ daneben liege.. :/
06.12.2011, 16:38	Ideenlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry für das dreichfach Posting, Thema bitte ins Hochschulmathematikforum verschieben..
06.12.2011, 21:04	chili_12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also wenn die Definition eines Poisson Prozesses auf wiki stimmt, dann musst du doch eigentlich garnichts machen. Schau dir mal den 2. Punkt der Definition an. ( de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Prozess ) Daraus folgt in einem kleinen Schritt (denk daran, dass die Höhe der Zuwächse auf 1 normiert ist) die Behauptung. Du musst natürlich schauen wie ihr den Prozess definiert habt. Aber irgendwas äquivalentes müsste auch bei dir im Script stehen Übrigens ist tatsächlich genau wie es dasteht die Anzahl der Ereignisse Poisson verteilt und nicht die Wsk. mfg

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