Dichte der X^2 Verteilung mit einem Freiheitsgrad

06.12.2011, 19:03

hanno

Dichte der X^2 Verteilung mit einem Freiheitsgrad

Meine Frage:
Guten Abend ich bin noch über eine Aufgabe gestolpert.

Es sei X ~ N(0,1) eine normalverteilte Zufallsvariable, d.h. die Dichtefunktion ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f_{X}(t) = \frac{e^{-\frac{1}{2}t^{2} } }{\sqrt{2\pi } } \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Dichte der Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X^{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss leider garnicht wie man eine Dichte berechnet und besonders mit dieser ZV nicht.

06.12.2011, 19:07

HAL 9000

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Sei $\begin{eqnarray*} Y=X^2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Y \end{eqnarray*}$ sowie Argumente $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F_Y(t) = P(Y\leq t) = P(X^2\leq t) = P(-\sqrt{t}\leq X \leq \sqrt{t}) = F_X(\sqrt{t})-F_X(-\sqrt{t}) \end{eqnarray*}$ .

Und nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abgeleitet (Kettenregel beachten!) ergibt sich dann auch die Dichte $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ .

06.12.2011, 19:14

hanno

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Das heißt $\begin{eqnarray*} F_{X}(\sqrt{t} ) = \sqrt{ \frac{e^{-\frac{1}{2}t^{2} } }{\sqrt{2\pi } }} \end{eqnarray*}$ muss ich jetzt nach t ableiten !?

06.12.2011, 19:41

HAL 9000

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Da steht nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{f_X(t)} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} F_X(\sqrt{t}) \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

ERST ableiten, DANN einsetzen, denn $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ hast du ja nur in wenig handlicher Integralform vorliegen.

06.12.2011, 20:25

hanno

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achja dumm von mir.
also wenn ich das dann JETZT richtig verstanden habe, dann leite ich erstmal $\begin{eqnarray*} {e^{\sqrt-\frac{1}{2}t^{2} } }*\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \end{eqnarray*}$ ab.

da hab ich aber was ganz komisches raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sqrt{-t} * {e^{\sqrt-\frac{1}{2}t^{2} -1 } }*\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \end{eqnarray*}$

06.12.2011, 20:40

hanno

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sorry hab nen Fehler gemacht. hier die hoffentlich richtige Lösung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{e^{\frac{t^{2}}{2} }*t }{\sqrt{2}*\sqrt{-t^{2} } } \end{eqnarray*}$

06.12.2011, 20:42

hanno

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achja den Faktor hab ich vergessen..tut mir leid ist etwas spät smile

$\begin{eqnarray*} -\frac{e^{\frac{t^{2}}{2} }*t }{\sqrt{2}*\sqrt{-t^{2} }*\sqrt{2\pi } } \end{eqnarray*}$

Nur was fang ich damit jetzt an?

06.12.2011, 20:58

HAL 9000

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Ist denn das so schwer? Finger1

Ich habe ganz präzise aufgeschrieben, was zu tun ist

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} F_Y(t) = \ldots = F_X(\sqrt{t})-F_X(-\sqrt{t}) \end{eqnarray*}$ .

Und nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abgeleitet (Kettenregel beachten!) ergibt sich dann auch die Dichte $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ .

aber du versuchst alle möglichen, falschen "Variationen", statt dich dran zu halten. unglücklich

Also:

$\begin{eqnarray*} f_Y(t) = F_Y'(t) = F_X'(\sqrt{t})\cdot (\sqrt{t})' - F_X'(-\sqrt{t})\cdot (-\sqrt{t})' = f_X(\sqrt{t})\cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} - f_X(-\sqrt{t})\cdot \left( -\frac{1}{2\sqrt{t}} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt erst solltest du da $\begin{eqnarray*} f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ einsetzen!!!

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