Konvergenzintervall einer Potenzreihe bestimmen

06.12.2011, 21:28	funkloch	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzintervall einer Potenzreihe bestimmen Meine Frage: Gesucht ist das Konvergenzintervall der Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty -3^nx^{5n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zunächst müsste ich ja die Reihe auf die Form $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n \end{eqnarray}$ bringen. Dazu definiere ich eine Folge $\begin{eqnarray} c_n = 1 \end{eqnarray}$ für n = 5k mit k aus IN und $\begin{eqnarray} c_n = 0 \end{eqnarray}$ sonst. Dadurch erhalte ich eine Reihe (die ja der alten entsprechen müsste aber nun die Richtige Form hat) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty c_n (-3^{n/5})x^{n} \end{eqnarray}$ Hoffe das stimmt soweit... Mein Problem ist jetzt die Berechnung des Konvergenzradius. Mit der Formel von Euler komme ich gar nicht zurecht, weil ich nicht weiß, was ich mit dem c_(n+1) machen soll. Wenn ich nun Cauchy-Hadamard bemühe habe ich $\begin{eqnarray} \lim sup_{n \to \infty } \sqrt[n]{\| -3^{n/5}c_n \| } \end{eqnarray}$ und wie geht das nun weiter? Wäre für eure Hilfe sehr dankbar.
06.12.2011, 22:49	funkloch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe jetzt einfach mal auf, was ich mir in der zwischenzeit überlegt habe. Kann ich aus $\begin{eqnarray} \lim sup_{n \to \infty } \sqrt[n]{\| -3^{n/5}c_n \| } \end{eqnarray}$ folgern das $\begin{eqnarray} R= \frac{1}{\sqrt[5]{3} } \end{eqnarray}$ und somit das Konvergenzintervall $\begin{eqnarray} ] -\frac{1}{\sqrt[5]{3} };\frac{1}{\sqrt[5]{3} }[ \end{eqnarray}$ Kann das so stimmen?
07.12.2011, 18:17	funkloch	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte mir jemand sagen, ob das wenigstens in die richtige Richtung geht? Ich habe versucht ähnliche Aufgaben irgendwo zu finden, um die Lösungswege zu vergleichen, hatte aber leider keinen Erfolg...

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