Stetigkeit

06.12.2011, 21:49	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Hallo, ich arbeite gerade an folgender Aufgabe, stehe aber leider total auf dem Schlauch und weiß einfach nicht wie anfangen: Sei $\begin{eqnarray} f:[0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} 0 & x\in ([0,1] / \mathbb Q ) \cup \left\{ 0 \right\} \\ \frac{1}{q} & x= \frac{p}{q}, p,q \in \mathbb N , p,q - teilerfremd \end{cases} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: i) Für $\begin{eqnarray} x_{0}\in(0,1]\cap \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist f an der Stelle $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ nicht stetig ii) Für $\begin{eqnarray} x_{0} \in ([0,1] / \mathbb Q ) \cup \left\{0\right\} \end{eqnarray}$ ist f an der Stelle $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ stetig
06.12.2011, 23:04	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe hier
06.12.2011, 23:27	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für i) hätte ich: Wenn f für $\begin{eqnarray} x_{0}\in(0,1]\cap\mathbb Q \end{eqnarray}$ nicht stetig ist, muss gelten: $\begin{eqnarray} \exists \epsilon > 0 \forall \delta > 0 \exists x \in [0,1] (\|x-x_{0}\|< \delta \wedge \epsilon \leq \|f(x)-f(x_{0})\|) \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} x_{0}\in[0,1] \cap \mathbb Q \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f(x_{0})>0 \end{eqnarray}$ . Da die irrationelen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb R / \mathbb R \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ dich liegen, gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ eine irrationale Zahl $\begin{eqnarray} \xi_{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\xi_{n}-x_{0}\|<\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ , also eine Folge irrationaler Zahlen $\begin{eqnarray} \xi_{n} \to x_{0} \end{eqnarray}$ Jedoch ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} f(\xi_{n})=0\neq \frac{1}{q}=f(x_{0}) \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Jedoch weiß ich nicht, wie ich für ii) vorgehen soll
06.12.2011, 23:31	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Fehler: Erstens ist es natürlich immernoch $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ und zweitens hast du die Folgerung nicht richtig verneint. Die Verneinung von A=>B ist "A und nicht B".
06.12.2011, 23:38	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ersteres habe ich korrigiert, das war ein Tippfehler. Zweiteres ebenfalls Stimmt i) dann soweit?
06.12.2011, 23:47	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt. Allerdings nur für $\begin{eqnarray} x_0\neq 0 \end{eqnarray}$ worauf ja auch die runde Klammer bei (0,1] in der Aufgabenstellung hindeutet. Zu (ii) sieh unter dem von mir oben angegebenen Link nach.
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06.12.2011, 23:59	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber $\begin{eqnarray} x_{0}=0 \end{eqnarray}$ wird dann ja in ii) betrachtet, oder?
07.12.2011, 00:01	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.

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