Tangente ermitteln

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Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente ermitteln
Meine Frage:
Hallo ^^

So ich habe jetzt versucht die Aufgabe zu lösen:

f(x)= x^3
g(x)= - 1/x

Es sei F ein Punkt von f und G ein Punkt von g. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit die durch die Punkte F und G verlaufende Gerade eine gemeinsame Tangente t an beide Funktionsgraphen ist? Zeigen Sie, dass für das vorliegende Beispiel eine solche Tangente existiert.

Meine Ideen:
Ich habe schon die eine Bedingung:

f'(x)=g'(x)

Aber ich finde keine weitere Bedingung...

Vielleicht könnte man noch sagen, dass die Sekantensteigung=Tangentensteigung ist..

Aber ich komme einfach auf keinen Wert..

f'(x)= 3xf^2
g'(x)= 1/xg^2
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Tut mit leid für Doppelpost

Konnte irgendwie nicht auf meinen älteren Post zugreifen..
aber jetzt gehts wieder.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Nun musst du beide gleich setzen, dann bekommst du den x-Wert von F und G heraus.

lg, kiki
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Aber wenn ich sie gleichsetze, dann steht da:

3xf^2 = 1/xg^2

xf = 1/ (Wurzel(3)*xg)

oder etwa nicht?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Dann steht da:

3x² = 1/x² .... * (x²)

3x^4 = 1

x^4 = 1/3

dann 4. Wurzel ziehen, dann hast deine Lösung.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
sind beide x gleich?
Ich dachte ich müsste unterscheiden zwischen xf und xg
 
 
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Zitat:
Original von Lk-Mathe

f(x)= x^3
g(x)= - 1/x

Es sei F ein Punkt von f und G ein Punkt von g. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit die durch die Punkte F und G verlaufende Gerade eine gemeinsame Tangente t an beide Funktionsgraphen ist?

Meine Ideen:
Ich habe schon die eine Bedingung:

f'(x)=g'(x) unglücklich


das stimmt leider nicht, da die beiden Punkte F und G, an denen die Steigung gleich sein soll,
NICHT den gleichen x-Wert haben..

Du solltest nochmal ganz neu überlegen
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
ja ich hatte auch kurz davor gepostet, dass beide x-werte nicht gleich sind ^^

also f'(xf)=g'(xg) oder?

Ich dachte, dann mache ich die Gleichung nur noch von einer Variablen abhängig..
Aber ich weiß nicht, wo ich dann das, was ich finde, einsetzen soll..
Also mir fehlt noch eine Bedingung..
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Nein, musst du nicht.

Du findest die 2 x-Werte der Punkte heraus, an denen die Funktionen die gleiche Steigung haben und da gibt es dann jeweils 2 Punktpaare.

Setz zurück ein in beide Funktionen und du erhältst die dazugehörigen y-Werte.


edit: stimmt..die haben natürlich unterschiedliche x-Werte. Sorry!
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Vorschlag:

denke dir in einem festen Punkt F(a;a^3) auf f(x)=x^3 die Tangente gezeichnet..
deren Gleichung wird dann ungefähr so aussehen:



schneide nun diese Gerade mit g(x)=-1/x

und bestimme dann den Parameter a so, dass es für die entstehende quadratische Gleichung
nur genau eine Lösung gibt (.... klar, was du dazu untersuchen musst?)

ok?
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Wenn ich deinen Rechenweg benutze, dann kommt man ja auf x= 0759

Was gibt mir das jetzt an?
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Ich versuche es mal mit der Idee von Original
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Die ist auch goldrichtig, bin ich grad drauf gekommen.

Und meine war völliger Schwachsinn. Sorry nochmals.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Irgendwie verstehe ich nicht, was du am Anfang meinst.
Also ich habe als Punkt F(a/a^3), welcher auf f(x) liegt, und wo die Tangente berührt.

Aber wie bist du auf y= 3a^2 *x -2a^2
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
t: y = kx + d

k = 3a²
P = (a / a³)

einsetzen und d berechnen.

Dann die Tangente mit g(x) schneiden und du kommst zu einer quadratischen Gleichung, wo, wenn sie Tangente sein soll, unter der Wurzel 0 rauskommen muss.
So kannst dir dann a berechnen.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Wenn ich es einsetze:

d=a^3 - 3a^2 *x

Dann setze ich gleich mit f(x)

x^3 = a^3 -3a^2 *x

Ich habe gerade ein Problem mit dem Umstellen..
Wie mache ich da weiter?
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
kann es sein :

a= 3,1038x ?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
nö...also

Du musst für x und y in die Tangentengleichung den Punkt (a / a³) einsetzen und für k = 3a², dann ergibt sich:

a³ = 3a² * a + d

d = - 2a³

Nun lautet die Tangentengleichung:

y = 3a² * x - 2a³

so wie original geschrieben hat.

Nun schneidest du diese Tangente mit g(x), also mit g(x) = -1/x

dann steht da:

3a²x - 2a³ = -1/x

dann die ganze Gleichung mal x.

Dann kommst du auf eine quadratische Gleichung, die du mit Lösungsformel auflöst.

Da entsteht dann ein Wurzelausdruck....und wenn diese Gerade wirklich Tangente sein soll, dann darf sie nur einen Schnittpunkt mit der Kurve haben, also muss der Ausdruck unter der Wurzel 0 sein.

den setzt du dann 0 und erhältst für a eine Zahl.

lg, kiki
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
ach Big Laugh ich habe vergessen für x=a einzusetzen ^^

Ich probiere es nocheinmal Big Laugh
danke
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Ich brauche nocheinmal kurz Hilfe ^^'

Ich habe für x jetzt das mit der Wurzel..

Kann ich die Wurzel weglassen? Weil du meintest ja, dass es 0 ergeben muss..
Was ich auch nicht so wirklich verstanden habe..

Wenn ich die Wurzel weglasse, muss ich dann einfach:

a^2 / 3a = 0

a=0

Das stimmt doch nicht so, oder?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Nein, um DAS geht es ja.

Eine quadratische Gleichung hat nur dann eine einzige Lösung, wenn die Diskriminante 0 ist. Das heißt...die Gerade muss dann Tangente gewesen sein, wenn unter der Wurzel null raus kommt.

du musst den Ausdruck unter der Wurzel , der wurzel aus (a²/9 - 1/(3a²) ist, 0 setzen

a²/9 - 1/(3a²) = 0

und dann auflösen, dann kriegst für a die Zahl heraus.

Diese Zahl setzt du nun in g(x) zurück ein und erhältst die y-Koordinate des Punktes auf g.

Dann kannst dir die Tangente an g aufstellen, schneidest sie mit f(x) und kriegst dann den Punkt auf f heraus.

lg, kiki
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Ich muss irgendwo etwas falsch gemacht haben..

Steht bei dir als quadratische Formel

3a^2*x^2-2a^3*x+1=0

??
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Ja, steht so....dann hab ich durch 3a² dividiert, damit ich die kleine lösungsformel nehmen kann...ich nehm nie die große.

und dann steht da:

x1,2 = a/3 +/- Wurzel aus (obigem)
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Ich muss jetzt nochmal zur Schule, aber wenn ich wieder da bin, werde ich mich noch mal mit dieser Aufgabe auseinandersetzen ^^
Vielleicht habe ich ja noch Glück und du bist auch zufälligerweise on Big Laugh
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Tu nur...muss auch stante pede weg... Wink
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Zitat:
Original von kikira

a²/9 - 1/(3a²) = 0

und dann auflösen, dann kriegst für a die Zahl heraus.

Diese Zahl setzt du nun in g(x) zurück ein und erhältst die y-Koordinate des Punktes auf g.

Dann kannst dir die Tangente an g aufstellen, schneidest sie mit f(x) und kriegst dann den Punkt auf f heraus.


1)
a²/9 - 1/(3a²) = 0
wenn du also die reellen Lösungen von
haben willst, wirst du zwei solche finden.

2)
du brauchst i.P. nichts mehr neu rechnen...
für den Berührpunkt auf f(x)=x^3 kannst du direkt das jeweilige a einsetzen: F(a;a^3) - fertig
auch bei der Gleichung der Tangente ist nur noch der jeweils gefundene Wert von a in den oben
erwähnten Ansatz einzusetzen

hier nochmal :
ZITAT:
denke dir in einem festen Punkt F(a;a^3) auf f(x)=x^3 die Tangente gezeichnet..
deren Gleichung wird so aussehen:



ZITAT ENDE
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, wie du auf deine beiden x-werte kommst..
Also die Gleichung, die nach x umgestellt wurde..

Ich habe die Gleichung:

3a^2 * x^2 - 2a^3 * x + 1 = 0

Bis hier habe ich es verstanden..

Dann gebe ich die Gleichung in meinen Rechner ein, damit er mir das nach x umstellt, aber da kommt als Ergebnis jedes Mal:

x1=

x2= Das selbe ohne Minuszeichen davor..
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Zitat:
Original von Lk-Mathe
Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, wie du auf deine beiden x-werte kommst..


Dann gebe ich die Gleichung in meinen Rechner ein, damit er mir das nach x umstellt, unglücklich
aber da kommt als Ergebnis jedes Mal:

x1=



Sag mal, hast du wirklich nicht verstanden, dass es zunächst hier nicht darum geht, x zu berechnen?

Die Frage ist:
für welche Werte des Parameters a gibt es genau nur einen Schnittpunkt von Gerade und g(x).

Und da kannst du oben mehrfach nachlesen,
dass dafür dann die Diskriminate D=a^4 - 3 den Wert 0 haben muss.
... und hier bekommst du für a halt zwei reelle Lösungen .. usw

also versuche doch bitte, etwas mitzudenken oder zumindest zu lesen, was man dir schreibt.
Lk-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente ermitteln
Ich versuche schon von Anfang an mitzudenken und ich lese auch, was ihr schreibt..
Aber wenn ich nicht verstehe, was ihr gerechnet habt oder wie ihr auf bestimmte Gleichungen kommt, dann ist es ja das Richtige zu fragen.

Das mit den x-Werten habe ich gefragt, weil kikira meinte:

und dann steht da:

x1,2 = a/3 +/- Wurzel aus (obigem)


Da hat sie doch nach x umgestellt, oder nicht?
Ich dachte x1,2 soll
x1 und x2 heißen.. Habe ich da etwas falsch verstanden?

Mein Problem ist es, dass ich nicht verstehe, wie ihr auf
a²/9 - 1/(3a²) = 0
kommt..


Lg
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