LGS mit 2 Gleichungen und 4 Variablen

07.12.2011, 14:45

Mentholelch

LGS mit 2 Gleichungen und 4 Variablen

Hallo, dies ist meine erste Frage, also falls was fehlt, seid bitte nachsichtig.

Aufgabe: Lösen Sie folgendes LGS mit dem Gauß-Algorithmus.

$\begin{eqnarray*} && 3x-9y+6z+27w=-27 \\ && 4x-12y+2z+24w=12 \end{eqnarray*}$

Soweit ich weiß gibt es da am Ende weniger Stufen als Variablen, sodass freie Variablen über bleiben. Aber wie wende ich den GA konkret auf dieses LGS an und wie lese ich anschließend daraus die Lösungsmenge ab?

Für jede Hilfe dankbar.

07.12.2011, 18:22

Elvis

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Du darfst alles tun, was das LGS einfacher macht und mathematisch korrekt ist.

Hier drängt sich auf, die 1. Gleichung durch 3 und die 2. Gleichung durch 2 zu dividieren und dann die 1. Gleichung 2 mal von der 2. Gleichung zu subtrahieren. Dann dividierst du die 2. Gleichung durch -3 und ziehst sie 2 mal von der 1. Gleichung ab. (Woher weiß ich das ? Ich fange einfach an und mache weiter, bis ich fertig bin.)

Wenn du damit fertig bist und die Lösung nicht findest, darfst du noch mal fragen.

07.12.2011, 21:06

Mentholelch

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Erstmal vielen Dank für die Antwort!

Ich habe deine Schritte mal ausgeführt und komme nun zu folgendem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 & 5& \vline &7 \\ 0 & 0 & 1 & 2& \vline &-8 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} && x-3y+5w=7 \\ && z+2w=-8 \end{eqnarray*}$

Allerdings ist mir nun schleierhaft, wie ich daraus die Lösungsmenge ablesen soll. Muss ich das LGS nicht soweit auf Stufenform bringen, wie es geht? Ich meine, das LGS ist ja offensichtlich unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen hat, folglich bleiben ja freie Variablen. Wären das dann in diesem Falle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ?

07.12.2011, 22:42

Dopap

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Zitat:

Original von Mentholelch

$\begin{eqnarray*} && x-3y+5w=7 \\ && z+2w=-8 \end{eqnarray*}$

da w doppelz vorkommt ist w erster Kanditat für die freie Wahl..

$\begin{eqnarray*} && x-3y=7-5w \\ && z=-8 -2w \end{eqnarray*}$

z ist somit erledigt.

$\begin{eqnarray*} && x=7-5w +3y\\ && z=-8 -2w \end{eqnarray*}$ zeigt, dass auch y frei wählbar ist.

setzen wir nun $\begin{eqnarray*} w=\mu \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y=\lambda \end{eqnarray*}$ so steht

$\begin{eqnarray*} && x=7-5w +3y \\ && z=-8 -2w\\ && w=\mu \\&& y=\lambda \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} && x=7-5\mu +3\lambda \\ && z=-8 -2\mu \\ && w=\mu \\&& y=\lambda \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} && x=7-5\mu +3\lambda \\ && z=-8 -2\mu +0\lambda \\ && w=0+0\mu +0 \lambda \\&& y=0+ 0\mu +1\lambda \end{eqnarray*}$

womit sich

der Lösumgsvektor nach Zeilenvertauschung als

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \\ w\end{pmatrix} =\vec a +\mu \vec p +\lambda \vec q ~\land \mu,\lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

schreiben lässt. Die 2-dimensionale Mannigfaltigkeit im R^4 des Lösungsraumes ist nun klar erkennbar.

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