Abstand Punkt - Ebene

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Morpholus Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Punkt - Ebene
Meine Frage:
Moin!

Komme bei einer Aufgabe nicht weiter, obwohl ich sie "theoretisch" schon gelöst habe:

Die Aufgabe befindet sich im Lambacher Schweizer Leistungskurs auf Seite 173, Aufgabe 4b):

"Gegeben sind die Punkte A(1|-2|-7), B(17|-2|5), C(-8|-2|5) und D(1|6|7). Bestimmen Sie den Abstand des Punktes D von der Ebene durch A, B und C."

Meine Ideen:
Zunächst einmal wollte ich die Ebenengleichung in Parameterform aufstellen, die (hoffentlich) so lautet:



So weit, so gut:
Nun wollte ich die Ebenengleichung in die Koordinatenform bringen, bzw. anhand der Spannvektoren von E den Normalenvektor herleiten.
Mein Ansatz war, die beiden Spannvektoren mit dem zu skalieren und mit 0 gleichzusetzen, sodass ein Gleichungssystem entsteht:



und



Hierbei entsteht dann bei mir folgendes Gleichungssystem:



Nun hab ich das Problem, dass und beide rausfallen, sodass nur noch übrig bleibt und ich keinen Normalenvektor herausfinde (, außer den Nullvektor, was Schwachsinn ist).

Hätte ich den, würde ich die Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen und nach einer Formel im Buch den Abstand von D zur Ebene ausrechnen.

Ich hoffe jemand kann mir mit dem verflixten Normalenvektor weiterhelfen!

Gruß
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Punkt - Ebene
Dein Gleichungssystem sagt dir, dass und Null sein müssen, damit die Gleichungen erfüllt sind. Für hingegen kann jeder x-beliebige Wert eingesetzt werden...
Kennst du eigentlich die Definition des Normalenvektors als das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren? Hier kommt was raus...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mit dem Kreuzprodukt schweifen wir von Thema ab...
-----------------------
Löst man das LGS noch weiter, dann steht



und daraus folgt, dass frei wählbar sind.

edit--------------------------------

z.B. wäre
möglich Augenzwinkern aber



einfach schöner.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Punkt - Ebene
Was? Also bei mir ist
, somit ist das keine Lösung.
Außerdem ist auch anschaulich plausibel.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, habe nur alles an einer Gleichung festgemacht und die Zweite vergessen. unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Normalvektor ergibt sich "automatisch" bei Elimination der beiden Parameter r und s. Denn in der parameterfreien Gleichung (--> Normalvektorform) kann man den Normalvektor direkt ablesen.
Auch die Ermittlung des Normalvektors als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren ist selbstverständlich zielführend.

Danach geht man auf die normierte Koordinatengleichung über (Hesse'sche Normalform) und setzt dort die Koordinaten des Punktes D ein. Damit ist der Normalabstand des Punktes D von der Ebene ermittelt.

mY+
 
 
Morpholus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
Vektorprodukte hatten wir leider noch nicht durchgenommen, aber hab gemerkt wo der Denkfehler war!

smile
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