Injektivität, Surjektivität oder Bijektivität zeigen

07.12.2011, 15:44

Gast11022013

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Injektivität, Surjektivität oder Bijektivität zeigen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} f_t(x)=e-e^{tx} \end{eqnarray*}$

Zu dieser Funktion soll ich drei Eigenschaften finden.
Sx und Sy habe ich bereits berechnet und eine dritte Eigenschaft zu finden wäre auch kein Problem nur würde ich gerne etwas außergewöhnliches machen.

Dazu will ich zeigen oder beweisen welchen Verlauf (Injektiv, Surjektiv, Bijektiv) diese Funktion hat.

Meine Ideen:
Es ist mehr so ne reine just for fun Sache.
Aber es würde mich tierisch freuen wenn mir jemand hilft.

Es würde schon reichen zu zeigen wie man so etwas zeigen bzw. beweisen kann.
Ich bin kein Student oder so aber interessieren würde es mich dennoch.

Kann mir da jemand helfen wäre echt nett.

Danke im Voraus

Mfg

07.12.2011, 15:47

Airblader

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Ohne Angabe von Definitions- und Wertebereich kann man über diese Eigenschaften nicht sprechen.

air

07.12.2011, 15:48

Gast11022013

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Danke für deine Antwort.

Was ist wenn Definitions und Wertebereich egal wären?

Das heißt jeweils $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ ?

07.12.2011, 15:54

Cheftheoretiker

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Injektivität: Jedes Element aus $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ wird höchstens ein Element aus $\begin{eqnarray*} W_f \end{eqnarray*}$ zugeordnet.

Surjektivität: Jedes Element aus $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ wird mindestens ein Element aus $\begin{eqnarray*} W_f \end{eqnarray*}$ zugeordnet.

Bijektivität: Wenn sowohl injektiv als auch surjektiv.

Wie aber Airblaider bereits meinte, Aussagen kann man so keine treffen.

07.12.2011, 15:55

Gast11022013

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Und wie kann ich das zeigen??

Hast du vielleicht ein Rechenbeispiel oder ne Anleitung gerade parat?

07.12.2011, 15:56

Airblader

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"Egal" können sie nicht sein, denn es sind Bestandteile einer Funktion. Das ist als würde man sagen, der Funktionsterm einer Funktion f sei egal, aber ich will nun wissen, ob sie bijektiv ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du mit " $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ " meinst, dass $\begin{eqnarray*} D_f = W_f = \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein soll, dann kann man damit arbeiten. Festlegen musst du dich aber.

air

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07.12.2011, 15:57

Gast11022013

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Ja das würde ich sagen das jeweils Definitionsbereich und Wertebereich $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ sind.

07.12.2011, 15:58

Cheftheoretiker

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Injektivität zeigst du mit,

$\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Surjektivität zeigst du mit,

$\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$

07.12.2011, 16:00

Gast11022013

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Also ich muss für die Injektivität nichts weiter tuen als 2 beliebige Zahlen des Definitionsbereiches nehmen in die Funktion einsetzen und zeigen das es keine weitere Zahl gibt die den selben y-Wert hat??
Bzw. den selben x-Wert?

Und surjektivität einfach das jedes x des Definitionsbereiches auf den Wertebereich abbildet??

Wärst du so nett es mit einem Beispiel zu verdeutlichen smile

smile

.

07.12.2011, 16:05

Airblader

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Zitat:

Original von hangman
Surjektivität zeigst du mit,

$\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$

verwirrt

Naja, ich überlass dir mal den Thread (die korrekte Version von Surjektivität kommt hoffentlich noch Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Ich bin nun eine Runde trainieren.

Wink

Wink

air

07.12.2011, 16:09

Cheftheoretiker

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Betrachten wir,

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=7x-3 \end{eqnarray*}$

Injektivität: Seien $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ beliebig.

$\begin{eqnarray*} 7x_1-3=7x_2-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Die Abbildung ist injektiv.

Surjektivität kannst du in diesem einfachen Beispiel zeigen indem du dir das Bild von f anschaust.

$\begin{eqnarray*} Im(f)=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ also ist die Abbildung auch surjektiv und demnach bijektiv.

07.12.2011, 16:16

Gast11022013

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Hmm ok den letzten Schritt kann ich nicht ganz nachvollziehen.

Ich versuche jetzt mal Injektivität meiner Funktion zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=e-e^{tx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e-e^{tx_1}=e-e^{tx_2} \end{eqnarray*}$

Dazu rechne ich -e, multipliziere mit -1, ziehe den ln, dividiere mit t und erhalte $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2<br /> \end{eqnarray*}$

wäre das so richtig?

Ist die Funktion also Injektiv und ich muss nun auf Surjektivität prüfen und wenn diese auch noch gilt wäre es bijektiv wenn nicht injektiv?

07.12.2011, 16:18

Cheftheoretiker

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Wie Airblaider schon meinte, ohne Definitions und Wertebereich machen sollche Aufgaben keinen Sinn.

07.12.2011, 16:27

Mulder

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Ein ganz kurzer Nebeneinwurf: Bei deiner Funktion hättest du die Injektivität zum Beispiel auch über die Ableitung beweisen können. Denn wenn eine Funktion streng monoton fallend (oder steigend, je nachdem, was man für t einsetzt) ist, ist sie natürlich auch zwangsläufig injektiv, wie du dir leicht klarmachen kannst. Eine Ausnahme ist übrigens t=0, das nur so am Rande. Man sollte also t ungleich 0 fordern.

Ansonsten will ich mich nicht weiter einmischen, euer Weg ist der "Standardweg" und völlig in Ordnung. Aber vielleicht hat Gmasterflash ja auch Interesse an Alternativen. Wink

Wink

07.12.2011, 16:28

Gast11022013

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Wäre es den vom Prinzip her richtig?

Wie wäre es den wenn jetzt Definitions und Wertebereich $\begin{eqnarray*} \pm 20 \end{eqnarray*}$ wären.

Wie würde sich da was ändern?

Auf jeden Fall habe ich auch Interessen an Alternativen.
So zu sagen ist das hier ein offener Tread. Es wäre nicht schlimm wenn du dich auch daran beteiligst.
Es sei den hangman hätte was dagegen.

07.12.2011, 16:41

Cheftheoretiker

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Was meinst du mit \pm 20? verwirrt

verwirrt

07.12.2011, 16:43

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \pm 20 \end{eqnarray*}$

Hatte vergessen es in die latexklammern zu setzen.
Wie ändert sich die Rechnung oder Ergebnis dadurch oder ist es egal.
Ist meine Rechnung zur Injektivität richtig?

07.12.2011, 16:48

Cheftheoretiker

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Du meinst das so?

$\begin{eqnarray*} [-20,20] \rightarrow [-20,20] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_t(x)=e-e^{tx} \end{eqnarray*}$

Okay, die Injektivität hast du bereits gezeigt. Nun die Surjektivität. smile

smile

07.12.2011, 16:50

Gast11022013

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Hmm... ein Rechenbeispiel deiner seits würde mir sehr helfen Big Laugh

Big Laugh

Ich habe ja nur die Angabe $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ von dir und meines Wissenstandes nach gilt das für jede Funktion also kann ich damit leider gerade nicht so viel anfangen.

07.12.2011, 16:53

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} e-e^{tx}=y \end{eqnarray*}$

Das löst du nach x auf und setzt es in deine Funktion ein und schaust ob y rauskommt.

07.12.2011, 16:58

Gast11022013

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Ok ich versuchs mal.

Was mach ich mit dem y?

Ich habe für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$
raus.
Habe aber das y komplett ignoriert.

Wenn ich das einsetze erhalte ich dann 0=0 (glaube ich)
Das heißt meine Funktion ist ebenfalls surjektiv und das heißt sie ist bijektiv.

Bleibt noch die Frag ob ich recht habe mit meiner Rechnung.

07.12.2011, 16:59

Cheftheoretiker

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Das lässt du stehen, du musst nach x auflösen.

07.12.2011, 17:06

Gast11022013

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Meinst du das dann so?

$\begin{eqnarray*} e-e^{tx}=y |-e<br /> -e^{tx} =y-e |*-1<br /> e^{tx} =-y+e|ln \end{eqnarray*}$

ln von -y existiert nicht? (wenn y z.b = -1 wäre wäre -y ja 1 und der ln davon würde ja existieren, oder nicht deshalb kann ich da gerade keine aussage zu treffen)

ansonsten

$\begin{eqnarray*} tx=ln(-y) +1 |:t <br /> <br /> x=\frac{ln(-y)+1}{t} \end{eqnarray*}$

und das jetzt einsetzen und gucken ob y rauskommt?

$\begin{eqnarray*} e-e^{\frac{ln(-y)+1}{t}}=.... \end{eqnarray*}$ jooar wie gehe ich hier am besten vor um zu zeigen das es = oder ungleich y ist?

07.12.2011, 17:39

Mulder

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Deine Rechnung ist falsch, wenn du auf $\begin{eqnarray*} e-y \end{eqnarray*}$ den Logarithmus anwendest, musst du da das auf den ganzen Term machen und nicht auf e und y einzeln. Also wenn schon, ergibt sich $\begin{eqnarray*} \ln(e-y) \end{eqnarray*}$ . Bitte keine eigenen Rechenregeln erfinden!

Manchmal lohnt es sich, die Augen aufzumachen, bevor man anfängt, irgendwas zu rechnen. Gerade bei Injektivität und Surjektivität, meistens sieht man durch Hingucken schon, was Sache ist und beweist es dann durch Rechnung. Du hast dich ja nun für

$\begin{eqnarray*} f: [-20,20] \to [-20,20] \, , \, x \mapsto e-e^{tx} \end{eqnarray*}$

entschieden. Das ist deine Funktion. Injektiv ist sie. Was bedeutet nun surjektiv? Dass jedes Element aus dem Bild auch von f angenommen wird. Formal:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} F: X \to Y \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, wenn für alle $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} F(x)=y \end{eqnarray*}$ ist. Das meinte hangman auch, aber besser ist es, wenn man es einmal ausformuliert.

Jetzt wirf nochmal einen Blick auf deine Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e-e^{tx} \end{eqnarray*}$

Du solltest auf Anhieb in der Lage sein, ein Element aus dem Bild anzugeben, das nicht getroffen wird. Denn offensichtlich ist f doch nach oben beschränkt, oder?

Hättest du oben richtig gerechnet, hätte dein Weg auch zum Ziel führen können, wenn man dann entsprechend argumentiert. Aber man kann sich das Leben auch etwas einfacher machen.

07.12.2011, 17:52

Gast11022013

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Wie gesagt bin ich ein Schüler und kein Student deshalb verstehe ich diese mathematische Schreibweise nur bedingt.

Deshalb habe ich auch leider nicht den Blick für Werte die nicht getroffen werden.
Ansonsten würde ich mal sagen 1 du wenn ich 1 einsetze $\begin{eqnarray*} e-e^t \end{eqnarray*}$ nicht 1 ist ?? so richtig?

07.12.2011, 17:57

Mulder

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Wie gesagt bin ich ein Schüler und kein Student deshalb verstehe ich diese mathematische Schreibweise nur bedingt.

Lasse ich nicht gelten, denn ich habe ganz bewusst, da du Schüler bist, die an der Hochschule gängigen Schreibweisen weggelassen.

Zitat:

Original von Gmasterflash
Ansonsten würde ich mal sagen 1 du wenn ich 1 einsetze $\begin{eqnarray*} e-e^t \end{eqnarray*}$ nicht 1 ist ?? so richtig?

Nein, daneben. Bist du sicher, dass du den Begriff Surjektivität verstanden hast? Es geht nicht darum für x etwas einzusetzen, sondern für y ein Urbild anzugeben. Wie schon gesagt, f ist nach oben beschränkt. Setz doch mal für t ein oder zwei Beispielzahlen ein und zeichne die Funktion mal. Dann siehst du das.

07.12.2011, 18:01

Gast11022013

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Also ich habe die Funktion jetzt für die t-Werte 1 und 2 Zeichnen lassen.
Dabei fällt auf das sie den selben y-Achsenschnittpunkt haben (das hätte ich mir auch vorher denken können Hammer

Hammer

)

Meinst du das?

Oder die gemeinsame Asymptote?

07.12.2011, 18:04

Mulder

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Nein, der y-Achsenschnittpunkt interessiert überhaupt nicht. Was soll der mit Surjektivität zu tun haben?

Die Asymptote geht schon eher in die richtige Richtung.

07.12.2011, 18:06

Gast11022013

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War ja nur ne Idee mit dem Achsenschnittpunkt.

Ok also wenn ich eine Asymptote habe dann werden auf dem Wertebereich nicht alle Werte getroffen, da sie ja auf der y-Achse bis e (2,71..) beschränkt ist.

Richtige Erklärung?

Somit wäre die Funktion Injektiv? smile

smile

07.12.2011, 18:10

Mulder

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Also Asysmptoten sind jetzt kein prinzipielles Werkzeug bei Surjektivität. Ich meinte nur, der Gedanke geht in die richtige Richtung. Also nochmal: Surjektiv würde bedeuten, dass für alle $\begin{eqnarray*} y \in [-20,20] \end{eqnarray*}$ (hier meine ich das Bild) ein Urbild in $\begin{eqnarray*} [-20,20] \end{eqnarray*}$ (hier meine ich den Definitionsbereich) existiert, so dass

$\begin{eqnarray*} e-e^{tx}=y \end{eqnarray*}$

ist. Nun sieht man, f ist nach oben beschränkt. Alle Werte, die über der Asymptote liegen, werden nicht getroffen. Nun pickt man sich einen Wert raus und zeigt, dass dieser von f nicht getroffen wird. Nehmen wir ganz einfach $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ . Angenommen, $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ hätte ein Urbild, dann müsste es ein passendes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geben, so dass

$\begin{eqnarray*} e-e^{tx}=e \end{eqnarray*}$

ist. Daraus kriegst du schnell einen Widerspruch und das wäre dann ein formal korrekter Nachweis, dass f nicht surjektiv ist.

07.12.2011, 18:15

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, danke, danke, danke, danke

super!!

Ich habe gerade so ein richtiges aha Erlebnis. smile

smile

Ok also ran an den Widerspruch:

$\begin{eqnarray*} e-e^{tx}=e |-e<br /> <br /> -e^{tx}=0 |*-1<br /> <br /> e^{tx}=0 |ln<br /> \end{eqnarray*}$
Widerspruch da ln von 0 nicht Element der reellen Zahlen ist.

So richtig??

Wenn du mir jetzt noch einen Gefallen tuen kannst und die mathematische Definition für Injektivität, Surjketivität und bijektivität aufschreiben könntest in der art wie du es für die surjektivität schon getan hast.

Das wäre richtig nett von dir.

07.12.2011, 18:26

Mulder

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Ja, so geht's. Man hätte nicht unbedingt e nehmen müssen, man hätte auch 2e, oder 10 oder sonstwas nehmen können. Aber ein einzelnes Beispiel reicht schon, um die Surjektivität zu widerlegen und mit e ging es ja am einfachsten, das hast du bei deiner Rechnung ja gesehen.

Injektivität:

Sei $\begin{eqnarray*} F: A \to B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray*}$ zwei Elemente aus dem Definitionsbereich. $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist injektiv genau dann, wenn aus $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} a_1=a_2 \end{eqnarray*}$ folgt. Was nichts anderes bedeutet, als dass verschiedene Elemente aus dem Definitionsbereich auch stets auf verschiedene Bilder abgebildet werden.

Ein Gegenbeispiel wäre

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \mapsto \mathbb R \, , \, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

Das ist nicht injektiv, denn zum Beispiel wäre $\begin{eqnarray*} f(-1)=f(1) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} -1 \neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Zusatzfrage für dich: Surjektiv ist es auch nicht. Warum?

Bijektivität ist einfach injektiv und surjektiv zusammen. Das heißt im Grunde:

$\begin{eqnarray*} F: A \to B \end{eqnarray*}$ ist bijektiv, wenn für alle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ ist.

Das "genau ein" ist dabei entscheidend. Zusammefassend:

Injektiv bedeutet, jedes Element aus dem Bild wird höchstens einmal getroffen.
Surjektivität bedeutet, jedes Element aus dem Bild wird mindestens einmal getroffen.

Beides zusammen ergibt Bijektivität und heißt, jedes Element aus dem Bild wird genau einmal getroffen. Denn "genau einmal" ist ja "mindestens" und "höchstens" zusammengenommen.

07.12.2011, 18:30

Gast11022013

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Danke für deine Mühe. Freude

Freude

Die Funktion x^2 ist nicht surjektiv da jeder Wert jeweils 2mal angenommen wird.
Z.B. Für -2 dort ergeben sich ja 2Punkte jeweils mit 4

-2/4

2/4

Für surjektivität gilt nun ja das jeder Wert des Wertebereiches nur einmal getroffen werden darf.

Deshalb ist diese Funktion nicht surjektiv.

Ich hoffe ich habe richtig argumentiert.

Nochmals vielen dank und den anderen beteiligten an dieser Frage natürlich auch für die tolle Hilfe, Gedult und Mühe... aber von diesem Forum hier ist man ja sowieso nur das beste gewohnt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Freude

07.12.2011, 18:32

Mulder

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Die Funktion x^2 ist nicht surjektiv da jeder Wert jeweils 2mal angenommen wird.
Z.B. Für -2 dort ergeben sich ja 2Punkte jeweils mit 4

Es müsste hier "injektiv" heißen.

Zitat:

Original von Gmasterflash
Für surjektivität gilt nun ja das jeder Wert des Wertebereiches nur einmal getroffen werden darf.

Nein, das ist nicht die Definition von Surjektivität. Schon wieder alles vergessen?

07.12.2011, 18:37

Gast11022013

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Aaargh

Dann ist die Funktion surjektiv weil ich kein x-Wert finde der einen negativen y-Wert annimmt?
Aber das läge hier ja auch nicht im Wertebereich, oder?

Ohh man bei der surjektivität hapert es noch aber dafür das es nur just for fun ist finde ich es schon ganz gut.

Trotzdem muss ich es verstehen. Vielleicht bin ich ja auch nicht mehr aufnahme fähig heute wir sind ja immer hin schon seit gut 2 Stunden dabei glaube ich.

Perdon gut 3stunden LOL Hammer

LOL Hammer

07.12.2011, 18:40

Mulder

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Dann ist die Funktion surjektiv weil ich kein x-Wert finde der einen negativen y-Wert annimmt?

Soll da surjektiv stehen oder "NICHT" surjektiv?

Zitat:

Original von Gmasterflash
Dann ist die Funktion surjektiv weil ich kein x-Wert finde der einen negativen y-Wert annimmt?

Ich vermute, du meinst das richtige. Jetzt wieder wie vorhin mit dem e: Nenne eine konkrete Zahl aus der Bildmenge, die nicht getroffen wird.

07.12.2011, 18:43

Gast11022013

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Nicht surjektiv meine ich natürlich.

Z.B trifft die Funktion nicht den Punkt -2 im negativem Bereich.

07.12.2011, 18:48

Mulder

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Genau, weil $\begin{eqnarray*} x^2=-2 \end{eqnarray*}$ keine Lösung hat.

07.12.2011, 18:50

Gast11022013

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Und ein weiteres male vielen dank für die Hilfe. Mit Zunge

Mit Zunge

Jetzt muss ich aber erstmal ein bisschen Abstand gewinnen und die Kopfschmerzen loswerden Big Laugh

Big Laugh

ok das mit den Kopfschmerzen war gelogen. So schlimm war es auch nicht.

Ich wünsche dir noch einen schönen Abend.

Wink

Wink

08.12.2011, 16:56

Gast11022013

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Ich habe nochmal eine Frage zur injektivität.

Ich setze ja $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ein und gucke dann ob $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ ist.

Aber ist dies nicht so wieso immer der Fall?
Und was genau bedeutet das einsetzen dieser Variabelen?
Was sagt es aus?

Einfach das ich einen beliebigen x-Wert finde der auf einen anderen beliebigen Wert abbildet?

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