entscheide ob lineare abbildung

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07.12.2011, 15:49	isa85	Auf diesen Beitrag antworten »
entscheide ob lineare abbildung Meine Frage: a:R^3 nach R gibt es eine lin. abb. mit den eigenschaften? a(1,0,1)=3 a(5,3,1)=1 a(2,3,-2)=4 und denen? a(1,0,1)=3 a(5,3,1)=1 (2,3,0)= 4 Meine Ideen: ich habe keine ahnung...
07.12.2011, 18:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine lineare Abbildung ist vollständig definiert durch die Bilder der Basisvektoren. Wenn die Vektoren eine Basis des R³ sind, dann gibt es lineare Abbildungen. Wenn die Vektoren keine Basis des R³ sind, sind sie linear abhängig, was das Bild des 3. Vektors festlegt, wenn man die Bilder von 2 Vektoren kennt und die Abbildung linear sein soll.
08.12.2011, 12:34	isa85	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht Sinn. Aber ich weiß doch gar nicht, ob diese drei Vektoren die Basis sein sollen. Die Frage ist: Entscheiden Sie, ob es eine lineare Abb. mit den angegebenen Eigenschaften gibt. Es kann doch sein, dass einfach nur drei Vektoren gegeben sind, die aber nicht zur Basis gehören und daher auch linear abhängig sein können.
08.12.2011, 12:38	isa85	Auf diesen Beitrag antworten »
ah oder so: fall 1: die drei vektoren sind eine basis und daher linear unabh. und das heißt die ergebnisse sind irgendwie festgelegt, aber ich könnte die nich ausrechnen, nur hinnehmen. fall2: es ist keine basis. dann kann man den dritten vektor aus den vorherigen bestimmen.
08.12.2011, 12:52	isa85	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) Die Vektoren sind linear abhängig. Eine mögliche Lösung von R^3 ist {3, -1, 1}. Allerdings ist dies keine mögliche Lösung in R. Daher handelt es sich nicht um eine lineare Abbildung?
08.12.2011, 12:56	isa85	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 2) Die Vektoren sind linear unabh. und gehen wegen der dimension zu einer basis. daher gibt es eine lineare abbildung. ist es egal, dass die ergebnisse linear abhängig sind? und reicht es für eine basis eigentlich immer zu sagen: 1. linear unabh. 2. dimension stimmt
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08.12.2011, 13:01	isa85	Auf diesen Beitrag antworten »
und 3) da habe ich R^2 nach R^4 und drei vektoren gegeben wegen der dimension können die vektoren in R^2 keine Basis sein. Daher sind die vektoren linear abhängig (ist das wirklich immer so)? daher sind die abbildungen berechenbar.
08.12.2011, 13:06	isa85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich flipp aus: a(2,1)=(-1,1,3,2) a(3,1)=(0,1,2,2) a(1,2)=(-5,2,9,4) Also, die Vektoren gehören nicht zu einer Basis, sind aber trotzdem linear unabhängig. Und jetzt?
08.12.2011, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Und jetzt rechne ich ein bißchen und melde mich gleich wieder. Aufgabe 1. Der Gauß-Algorithmus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -4 \\ 0 & 3 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zeigt $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ l.a. also keine Basis, $\begin{eqnarray} y-5x=z-2x\Rightarrow y=z+3x \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} 1=a(y)\neq a(z+3x)=13 \end{eqnarray}$ . also a nicht linear. Aufgabe 2. Gauß zeigt x,y,z l.u. , also Basis, also ist durch a eine lineare Abbildung definiert. Aufgabe 3. Klar sind 3 Vektoren im 2-dimensionalen Vektorraum l.a. Hier gilt z.B. z=5x-3y (auch das berechne ich mit Gauß). Die Abbildung $\begin{eqnarray} a: R^2 \to R^4 \end{eqnarray}$ ist also genau dann linear, wenn $\begin{eqnarray} a(z)=5a(x)-3a(y) \end{eqnarray}$ gilt.

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