Definitionsbereich von x^x

10.01.2007, 20:06

SilverBullet

Definitionsbereich von x^x

Nabend zusammen,

habe heute die Ableitung von x^x berechnet. Hab sie natürlich auch mal gezeichnet dabei ist mir jedoch aufgefallen das die Funktion einen absolut seltsammen Definitionbereich besitzt.

Wie kann ich den Definitionbereich von $\begin{eqnarray*} f(x) = x^x \end{eqnarray*}$ bestimmen ?

Habe die Ableitung über $\begin{eqnarray*} x^x = exp(x * log(x)) \end{eqnarray*}$ berechnet falls das helfen sollte.

mfg
Marc

10.01.2007, 20:14

Calvin

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Was ist deiner Meinung nach seltsam am Definitionsbereich?

Die Funktion ist nur für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ definiert. Für x=0 könnte man als Grenzwert noch $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ergänzen.

Für negative x bekomst du aber Probleme, denn es ist z.B. $\begin{eqnarray*} f\left(-\frac{1}{n}\right)=\left(-\frac{1}{n}\right)^{-\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{-n} \end{eqnarray*}$

Und die Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

10.01.2007, 20:16

SilverBullet

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Falsch

Ab ca. -10 für x ist es wieder definiert

10.01.2007, 20:22

Calvin

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Sieht tatsächlich so aus: Boardplotter

Ich vermute aber, dass es mit der endlichen Speichergröße am Computer zu tun hat. Irgendwann werden die Zahlen eben zu groß, so dass es der Rechner die Zahl wieder als positive Zahl interpretiert.

Edit hat noch eine Übungsaufgabe aus meiner DV-Vorlesung gefunden:

Sei i eine Variable vom Typ "short int" (2Byte)
$\begin{eqnarray*} i=32767=2^{15}-1\quad \Rightarrow \quad i+1=-32768 \end{eqnarray*}$

10.01.2007, 20:28

SilverBullet

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Also es ist schon seltsam.
Heute wurde der selbe Graph auch in Derive ausgegeben hier in meiner Derive -Version allerdings nicht.

Gut ich mache also nix falsch wenn ich den Def.Bereich als $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+ ohne\{0\} \end{eqnarray*}$ angebe?
Und mit deiner ergänzung, dass der Grenzwert für x gegen 0 halt 1 ist.

10.01.2007, 20:30

wanoek

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für ungerade n ist doch die n-te wurzel aus negativen zahlen definiert ... oder nicht ?
der definitionsbereich für negative x ist dann wahrscheinlich so eingeschränkt Augenzwinkern

10.01.2007, 20:36

Calvin

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@wanoek

Wenn ich mich richtig erinnere, war das mal ein heißes Thema hier im Board. Ich habe aber gelernt, dass Wurzeln aus negativen Zahlen (in R) nicht definiert sind. Es gibt nämlich einen Unterschied zwischen dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8} \end{eqnarray*}$ (nicht definiert) und der Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=-8 \end{eqnarray*}$ (lösbar)

10.01.2007, 20:39

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Zitat:

Original von Calvin
Für negative x bekomst du aber Probleme, denn es ist z.B. $\begin{eqnarray*} f\left(-\frac{1}{n}\right)=\left(-\frac{1}{n}\right)^{-\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{-n} \end{eqnarray*}$

Und die Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

Das sehen viele unverbesserliche hier im Forum aber anders, sofern $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ist. Big Laugh

Ich nicht, ich bin da ganz auf deiner Seite. Augenzwinkern

10.01.2007, 20:42

wanoek

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hm ... also ist diese funktion für negative werte von x nicht definiert ? oder wie soll man das jetzt verstehen, denn lösen kann ich ja dann die gleichung ...

10.01.2007, 21:22

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Das sehen viele unverbesserliche hier im Forum aber anders, sofern $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ist. Big Laugh

Ich nicht, ich bin da ganz auf deiner Seite. Augenzwinkern

Nach der Diskussion war ich so wirr in der Birne, dass ich danach Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen wollte Hammer

.

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=45200 ist besagter Thread.

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