Splineaufgabe (Eindeutigkeit)

10.01.2007, 20:16	JtR	Auf diesen Beitrag antworten »
Splineaufgabe (Eindeutigkeit) Abend zusammen, ich sitze vor einer alten Klausur und komme nicht auf die Lösung folgender Aufgabe: Gegeben sei das Gitter $\begin{eqnarray} \Delta = \{ a = x_0 < x_1 < ... < x_{n+1} = b\} \end{eqnarray}$ sowie zwei verschiedene Zahlen $\begin{eqnarray} \xi_1, \xi_2 \in ]a,b[ \setminus \Delta \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Zu $\begin{eqnarray} f \in C[a,b] \end{eqnarray}$ existiert genau eine kubische Splinefunktion $\begin{eqnarray} S \in Sp(4,\Delta) \end{eqnarray}$ , sodaß $\begin{eqnarray} S(x_j) = f(x_j) \quad j = 0,1,...,n+1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} S(\xi_j) = f(\xi_j) \quad j=1,2 \end{eqnarray}$ erfüllt ist. ---------------------- Als Hinweis steht da: Betrachten Sie $\begin{eqnarray} f \equiv 0 \end{eqnarray}$ Sei also $\begin{eqnarray} f \equiv 0 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} S(a) = S(b) = f[a,b] \equiv 0 \end{eqnarray}$ . Dann wird man vermutlich mit dem Satz von Rolle eine Folgerung ziehen können - auf die ich aber nicht komme. Es bringt mir ja nichts, wenn irgendwo die erste Ableitung eines Splines an irgendeinem Punkt in irgendeinem Intervall gleich 0 wird. Mein Problem liegt darin, die $\begin{eqnarray} \xi_j \end{eqnarray}$ einzubauen... Kann mir jemand helfen, bitte?
15.01.2007, 19:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Splineaufgabe (Eindeutigkeit) Fehlen hier nicht noch ein paar Bedingungen?
19.01.2007, 16:37	malsehen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur mein erster Gedanke: Man hat (n+2) Stützstellen, d.h. (n+1) Intervalle. Nun betrachte $\begin{eqnarray} f \equiv 0 \end{eqnarray}$ . Zusammen mit $\begin{eqnarray} \xi_1, \xi_2 \end{eqnarray}$ besitzen die Splines zusammen (n+4) Nullstellen (eben an den Stützstellen). Anwenden des MWS: Es existieren insgesamt (n+3) Nullstellen für die erste Ableitung der Splines. Erneut MWS: Es existieren insgesamt (n+2) Nullstellen für die zweite Ableitung der Splines. Nun ist die zweite Ableitung eines kubischen Splines aber linear. In (n+2) Intervallen dürfte es somit nur (n+1) Nullstellen (insgesamt) geben. Also muß mindestens ein Intervall existieren, in dem der Spline identisch 0 ist. Ausgehend von diesem zeigt man induktiv, daß ebenso alle anderen Splines identisch 0 sind (das funktioniert, weil wir $\begin{eqnarray} f \equiv 0 \end{eqnarray}$ betrachten. Ganz grob gesagt: ausgehend von dem bekannten Intervall, in dem der Spline identisch 0 ist folgt z.B. für das Intervall rechts daneben: MWS ==> es gibt ein S'(y)=0. MWS ==> es gibt ein S''(z)=0. S'' hat also zwei Nullstellen ==> S'' = const 0 ==> S' = const, wegen der Nullstelle S' = const 0 ==> S = const, wegen der Nullstelle S = const 0) Nun stellt man ein LGS auf, und stellt fest, daß das homogene Problem (das betrachtet man wenn man $\begin{eqnarray} f \equiv 0 \end{eqnarray}$ setzt) nur eine Lösung besitzt, nämlich S=0. Die Eindeutigkeit für beliebige f folgt direkt aus der Matrixform (Vandermondesche Matrix ist regulär). Ciao

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »