Unabhängigkeit und Korrelation von Zufallsvariablen

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SanjoNinjaPanda Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit und Korrelation von Zufallsvariablen
Hallo,
habe einige Fragen.


Zur Unabhängigkeit.

Es gilt:,,
X,Y: Omega -> W
X und Y sind genau dann unabhängig wenn
P(x "und" y) = P(x)*P(y) für alle x,y aus W "

Ich habe einige Zufallsvariablen über Omega = zweimaliges Würfeln definiert und will jetzt prüfen welche un/abhängig sind.

Wenn ich zeigen will das X und Y NICHT unabhängig sind:
Reicht es nicht einfach zwei Ereignisse aus X und Y, deren Wahrscheinlichkeiten jeweils ungleich null sind, zu finden die miteinander unvereinbar sind, also nicht zusammen eintreten können?

dann würde ja der Ansatz gelten
P(x "und" y) = 0 =! P(x)*P(y) > 0

womit Abhängigkeit gezeigt ist.

Es gibt noch einen anderen Satz:,,

Es seinen X: Omega -> T aus IR und
Y: Omega -> U aus IR
unabhängige Zufallsvariablen. Dann gilt E[XY] = E[X]*E[Y]. "

Denn kann ich aber nicht benutzen um Unabhängigkeit zu zeigen, weil es eine Implikation und keine Äquivalenz ist. oder? Es reicht nicht E[XY] = E[X]*E[Y] zu zeigen. Aus falschen kann wahres folgen aber nicht umgekehrt. oder?


Zur Korrelation:

Ausm Skript:,,
Kovarianz ist cov[X,Y] = E[XY] - E[X]*E[Y]

X und Y heißen unkorreliert, falls cov[X,Y] = 0
Unabhängige Variablen sind stets unkorreliert. "

Sieht E[XY] so aus?

E[XY] = "Summe über alle x und y aus W" und in der Summe steht x_i * f(x_i) * y_i * f(y_i)

Vielen Dank
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unabhängigkeit und Korrelation von Zufallsvariablen
Zitat:
Original von SanjoNinjaPanda
dann würde ja der Ansatz gelten
P(x "und" y) = 0 =! P(x)*P(y) > 0

womit Abhängigkeit gezeigt ist.


also ich hab deinen text jetzt nur grob überflogen, aber der ansatz ist zwar unschön formuliert aber ich glaub du meinst das richtige. etwas sauberer sieht es so aus:
um unabhängigkeit zu zeigen suchst du dir zwei ereignisse A und B und zeigst:



Zitat:

Es reicht nicht E[XY] = E[X]*E[Y] zu zeigen.


richtig, reicht nicht.

Zitat:
E[XY] = "Summe über alle x und y aus W" und in der Summe steht x_i * f(x_i) * y_i * f(y_i)


allgemein stimmt das sicherlich nicht. es gilt



ich weiss, es masstheoretisch anschreiben bringt einen meistens auch nicht weiter aber daraus kann man alle fälle herleiten. jenachdem welche eigenschaften XY haben (diskret, stetig, unabhängig, gemeinsame dichte usw) kommt halt etwas anderes raus.
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