Extremwertproblem

07.12.2011, 19:20

rechner

Extremwertproblem

Meine Frage:
Hallo,
ich übe für meine nächste Mathe Klausur und bin mir bei einer Aufgabe nicht so sicher, ob meine Haupt und Nebenbedingungen richtig sind. Die Aufgabe lautet:

Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den größten Flächeninhalt hat?

Meine Ideen:
a=Länge der einen Seite des Rechtecks, r=Radius
HB: A=a*2r
NB: U2a+2r+pi*r

07.12.2011, 19:45

rechner

Auf diesen Beitrag antworten »

ich müsste nur wissen, ob das so stimmt.

rechner

07.12.2011, 20:00

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei A fehlt noch der Halbkreis, sonst stimmt es.

08.12.2011, 17:55

rechner

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh! Das habe ich total vergessen smile

$\begin{eqnarray*} HB: A=a*2r+\frac{\pi *r^{2} }{2} NB: U=2a+2r+\pi r a=\frac{U-2r-\pi r}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich a in HB einsetze bekomme ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} A=(\frac{U-2r-\pi r}{2} )*2r+\frac{\pi r^{2} }{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nach r auflöse bekomme ich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{Ur-4r^{2}-\pi r^{2} }{2} 2A=2Ur-4r^{2} -\pi r^{2} \frac{A}{U} =r-4r^{2}-\pi r^{2} \frac{A}{U}=-7,1415r^{2}+ r \end{eqnarray*}$

Als nächsten Schritt würde ich dann mit der pq-Formel lösen, aber ist das korrekt bis jetzt?

08.12.2011, 18:04

Margarita90

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn ich das nach r auflöse bekomme ich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{Ur-4r^{2}-\pi r^{2} }{2} \end{eqnarray*}$

Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen, musst aufpassen mit der 2 im Nenner und dann in der Multiplikation...

Zitat:

Als nächsten Schritt würde ich dann mit der pq-Formel lösen, aber ist das korrekt bis jetzt?

pq-Formel? Nein! Es ist doch eine Extremwertaufgabe:
Du musst also am Ende eine Funktion A(r) haben (also auch nicht durch U teilen, wie du es oben getan hast! [was du übrigens falsch gemacht hast, denn du musst schon ALLES, also jeden einzelnen Summanden, durch U teilen]). Diese soll extremal werden. Du musst also nach r ableiten, Nullsetzen, usw... Lass dich nicht von dem U stören: Das steht mit drin in der Funktion, ist aber laut Aufgabenstellung bekannt, behandle es deshalb wie eine Zahl.

Neue Frage »

Antworten »

Extremwertproblem

Verwandte Themen