Anwendung L'Hospital

07.12.2011, 19:36

HansimGlück

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Anwendung L'Hospital

Würde mich freuen, wenn mir jmd. kurz bestätigen könnte ob nachfolgendes Beispiel von mir richtig oder falsch gerechnet wurde.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sinx+x^2}{3cosx-3-x^2} = \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$
-> L'Hospital

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cosx+2x}{3*(-sinx)-2x}=\frac{1}{0} \end{eqnarray*}$
-> L'Hospital

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-sinx+2}{3*cosx-2}=2 \end{eqnarray*}$

07.12.2011, 19:37

Cel

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Das ist falsch. Warum? Was muss gelten, damit man L'Hospital anwenden darf?

08.12.2011, 00:14

HansimGlück

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Ich hätte L'Hospital nicht beim Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ verwenden dürfen? ...

08.12.2011, 09:37

Cel

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Genau. Aber wieso nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was sind Voraussetzungen für L'Hospital?

12.12.2011, 16:40

HansimGlück

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Spät aber doch:
Gemäß Papula müssen f(x) und g(x) in einer Umgebung von x_0 differenzierbar sein und der Grenzwert auf der rechten Seite existieren.

Was genau unter "in einer Umgebung von x_0" zu verstehen ist, ist mir nicht ganz klar. Beim gegebenen Beispiel ist das x_0 gleich 0.

12.12.2011, 20:48

Cel

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Das reicht aber nicht ... Die Grenzwerte im Zähler und Nenner müssen jeweils gegen etwas bestimmtes gehen. Guck noch mal genau nach.

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12.12.2011, 22:48

HansimGlück

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Hab genau nachgeschaut, dachte aber du zielst auf die Differenzierbarkeit ab Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Grenzwert soll die Forum 0/0 oder unendlich/unendlich haben.
__________________________

Hier noch ein anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+} x^k * ln(x) \end{eqnarray*}$
Man erhält den Ausdruck 0*unendlich -> L'Hospital.

Der Grenzwert der Ableitungen ist 0/0, also wende ich erneut L'Hospital, erhalte jedoch wieder 0/0 usw.

Ich bin mir nun nicht sicher, ob das stimmt und ob das nun bedeutet, dass es keinen Grenzwert gibt?
__________________________

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+} \frac {e^x}{x^k} \end{eqnarray*}$

Bei diesem Beispiel erhalte ich unendlich/unendlich. Nach L'Hospital ebenfalls, auch beim erneuten anwenden von L'Hospital, usw.

Ist diese Funktion nun auch undefiniert?

13.12.2011, 11:15

Cel

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Ich habe deine Beiträge mal zusammengefasst, vermeide bitte Mehrfachposts.

Beim Logarithmus darfst du L'Hospital nicht anwenden, du brauchst einen Quotienten dafür. Fällt dir ein, wie man die Funktion umschreiben kann?

Geht x beim zweiten wirklich gegen 0? Falls ja, stimmt ja unendlich /unendlich nicht ... Geht wohl eher gegen unendlich, das x. Leite dann doch mehrmals ab, und lass die Konstanten stehen, wie sie auftauchen. Es entsteht etwas, was du kennen müsstest.

13.12.2011, 22:51

HansimGlück

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Zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+} x^k * ln(x) \end{eqnarray*}$ :
Danke für den Hinweis mit dem Bruch, ist natürlich klar und hatte ich nicht bedacht.
Die Umformung wäre mMn $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x^k}{1}}{\frac{1}{lnx}} \end{eqnarray*}$ . Lässt man den Limes laufen erhält man den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ , also ist L'Hospital anzuwenden.

Variante a)
$\begin{eqnarray*} \frac{x^k}{x^2} \end{eqnarray*}$ Wäre meine Funktion nach Ableitung und Umformung. Bei Limesbetrachung erhält man wieder $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ und das geht auch bei wiederholter L'Hospital-Anwendung so weiter.

Hab hier wohl etwas falsch gemacht?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+} \frac {e^x}{x^k} \end{eqnarray*}$
Danke, ist doch noch ins Auge gesprungen, dass k im Nenner faktoriell wird!

EDITH: Ich erhalte hier den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{k!} \end{eqnarray*}$ . Bei Limesbetrachtung wird e^x unendlich, aber was ist mit k!? K ist eine natürliche Zahl, kann also auch unendlich sein?...

Die Mehrfachposts stammen daher, weil ich im Nachhinein noch Beispiele gerechnet habe und sich Fragen ergeben haben. Dachte mir, es ist besser diese in diesem Thread zu posten als einen neuen zu eröffnen.

15.12.2011, 16:57

HansimGlück

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Würde mich über eine Rückmeldung freuen, danke!

15.12.2011, 20:36

Cel

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Zitat:

Original von HansimGlück
Zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+} x^k * ln(x) \end{eqnarray*}$ :
Danke für den Hinweis mit dem Bruch, ist natürlich klar und hatte ich nicht bedacht.
Die Umformung wäre mMn $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x^k}{1}}{\frac{1}{lnx}} \end{eqnarray*}$ . Lässt man den Limes laufen erhält man den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ , also ist L'Hospital anzuwenden.

Das führt zu nichts ... Schreib es so um, dass der Logarithmus im Zähler steht.

Zitat:

Original von HansimGlück
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+} \frac {e^x}{x^k} \end{eqnarray*}$
Danke, ist doch noch ins Auge gesprungen, dass k im Nenner faktoriell wird!

EDITH: Ich erhalte hier den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{k!} \end{eqnarray*}$ . Bei Limesbetrachtung wird e^x unendlich, aber was ist mit k!? K ist eine natürliche Zahl, kann also auch unendlich sein?...

k! ist konstant, eine feste Zahl. Das ändert sich auch nicht durch den Grenzwert.

16.12.2011, 00:46

HansimGlück

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Zitat:

Original von Cel
Das führt zu nichts ... Schreib es so um, dass der Logarithmus im Zähler steht.

Zuerst hatte ich auch diese Umformung gewählt, dann erhielt ich jedoch den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\infty }{1}}{\frac{1}{0}} \end{eqnarray*}$ und wusste nicht weiter.

Wobei, ich hätte hier ja grundsätzlich den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \infty * 0 \end{eqnarray*}$ und dürfte hier also L'Hospital anwenden?

Zitat:

Original von Cel

k! ist konstant, eine feste Zahl. Das ändert sich auch nicht durch den Grenzwert.

Uh je, was Konstantes kann nicht unendlich sein... macht Sinn. Danke!

16.12.2011, 20:00

Cel

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Zitat:

Original von HansimGlück
Zuerst hatte ich auch diese Umformung gewählt, dann erhielt ich jedoch den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\infty }{1}}{\frac{1}{0}} \end{eqnarray*}$ und wusste nicht weiter.

Ja, ist doch gut! Das ist doch wieder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ . Der Logarithmus wird dann aber zu 1/x beim Ableiten, was schön ist. smile

smile

16.12.2011, 20:12

HansimGlück

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Wieso wird $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+}\frac{1}{x^k} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Das ist mir durchaus auch in den Sinn gekommen, denn das x nähert sich der 0 an, wird jedoch nie 0, also wird das x unendlich klein und entsprechend wird der Bruch immer größer bis in die Unendlichkeit.

Bei anderen Beispielen mit selben Limes wird das x jedoch 0 und nicht bloß "unendlich klein".

Kann ich je nach Sinnhaftigkeit für das weitere Prozedere, selbst entscheiden, ob $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}x \end{eqnarray*}$ nun 0 oder unendlich klein wird?

16.12.2011, 20:17

Cel

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Zitat:

Original von HansimGlück
Wieso wird $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+}\frac{1}{x1k} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Öhm ... Könntest du da noch mal drauf gucken? Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.12.2011, 20:35

HansimGlück

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Den falschen Knopf erwischt :P

Habs editiert.

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