Modulorechnung und euklidischer Algorithmus

07.12.2011, 19:43	fannycheer87	Auf diesen Beitrag antworten »
Modulorechnung und euklidischer Algorithmus Die Aufgabe: Seien teilerfremde ganze Zahlen m1,m2 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 0 gegeben. Nach dem Euklidischen Algorithmus gibt es ganze Zahlen c1, c2 mit c1m1 + c2m2 = 1 ; wir fixieren solche Zahlen. In dieser Identität “verstecken” sich zwei ganze Zahlen e1, e2 mit e1 $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ 1 mod m1 , e1 $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ 0 mod m2 e2 $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ 0 mod m1 , e2 $\begin{eqnarray} \equiv 1 \end{eqnarray}$ mod m2 a) Wie lauten diese Zahlen? b) Seien nun weitere ganze Zahlen n1, n2 gegeben. Wir betrachten das System von Kongruenzen x $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ n1 mod m1 , x $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ n2 mod m2 (x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z) . Zeigen Sie, dass das System die Lösungsmenge {n1e1 + n2e2 + m1m2 · z\| z $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z} = (n1e1 + n2e2) + m1m2Z hat. Ich habe wirklich keine Ahnung was ich hier überhaupt machen mus... Bitte helft mir!!!
08.12.2011, 13:19	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulorechnung und euklidischer Algorithmus In a) sollst Du eben zwei Zahlen $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_2 \end{eqnarray}$ finden, die diese Kongruenzen erfüllen. Kannst Du mal versuchen, die Gleichung $\begin{eqnarray} c_1m_1 + c_2m_2=1 \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} m_1 \end{eqnarray}$ auszudrücken? Vielleicht geht Dir dann ein Licht auf In b) zeigst Du Zweierlei: Erstens, dass jede Zahl $\begin{eqnarray} n_1e_1 + n_2e_2 + zm_1m_2 \end{eqnarray}$ die geforderten Kongruenzen erfüllt Zweitens, dass jede Zahl x, die die Kongruenzen erfüllt, in der Form $\begin{eqnarray} n_1e_1 + n_2e_2 + zm_1m_2 \end{eqnarray}$ geschrieben werden kann P.S. Kannst Du bitte den Formeleditor verwenden?

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