Abgeschlossene Menge

07.12.2011, 21:28

DerJoker

Abgeschlossene Menge

Guten Abend,

mir ist folgende Menge gegeben: $\begin{eqnarray*} M = \left\{ \frac{1}{n}+\frac{1}{m} | m,n \in \mathbb N \right\} \cup \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ . Nun soll ich überprüfen ob diese Menge offen, abgeschlossen oder sogar kompakt ist und den Rand bestimmen. Nun wie gehe ich hier am besten vor? Ich vermute das die Menge kompakt ist. Beschränkt ist sie durch 0 und 2. Zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ohne M offen ist erscheint mir nicht Sinnvoll. Vermutlich lässt sich hier irgendwie das Folgenkriterium anwenden. Allerdings habe ich keine Idee wie. Würde mich über einen Denkanstoß freuen.

DerJoker

08.12.2011, 07:28

juffo-wup

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Du liegst mit deiner Vermutung richtig.
Ein Ansatz: Überlege dir, dass für eine konvergente Folge reeller Zahlen immer eine Teilfolge existiert, die monoton (steigend oder fallend) gegen den Grenzwert konvergiert.
Nun wende das auf eine beliebig gewählte konvergente Folge von Elementen aus M an.

09.12.2011, 08:56

DerJoker

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Ok. Vielen Dank für deine Hilfe. Jede Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ besitzt eine monoton wachsende/fallende Teilfolge. Das gilt also insbesonders für jede konvergente Folge in M. Da M beschränkt ist muss also der Grenzwert dieser Folge in M liegen. Da jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen den Grenzwert der konvergenten Folge strebt, ist somit jeder Grenzwert einer beliebigen konvergenten Folge aus M in M. Somit ist die Menge M abgeschlossen und beschränkt. Dann ist die Menge M nach dem Satz von Heine Borel kompakt. Stimmt das soweit? Die Menge M ist nicht offen, denn wählt man eine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung um den Wert 0, so liegen auch immer negative Zahlen in der Epsilon Umgebung. Nun fehlt mir noch der Rand der Menge. Ich vermute das der Rand gleich ganz M ist. Ist das richtig? Wie zeige ich sowas?

DerJoker

09.12.2011, 09:57

juffo-wup

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Zitat:

Original von DerJoker
Da M beschränkt ist muss also der Grenzwert dieser Folge in M liegen.

Die Begründung ist nicht richtig, sonst wäre ja jede beschränkte Menge abgeschlossen. Man muss hier schon die konkrete Definition von M benutzen.

Weitere Ausführung des Tipps (wobei ich noch eine mögliche Vereinfachung meiner ursprünglichen Überlegung gesehen habe, als du bemerkt hast, dass sogar jede Folge eine monotone Teilfolge hat): Für eine konkrete konvergente Folge $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{n_k}+\frac{1}{m_k} \end{eqnarray*}$ von Elementen aus M (mögliche Nullen ignorierend) lässt sich eine Teilfolge der $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ finden, die monoton ist. Gehe zu dieser über, nun lässt sich eine Teilfolge der entsprechenden Teilfolge der $\begin{eqnarray*} m_k \end{eqnarray*}$ finden, die monoton ist. Die zugehörige Teilfolge der $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ ist natürlich dann auch monoton als Teilfolge einer monotonen Folge. Insgesamt kann also eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ gefunden werden, bei der sowohl $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} m_k \end{eqnarray*}$ monoton sind. Was kann man jetzt über die Folgen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m_k} \end{eqnarray*}$ sagen?

11.12.2011, 14:42

qwert zuiopü

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RE: Abgeschlossene Menge
Hallo Joker. Da wir gerade die Definitionen für kompakte Mengen gelernt haben: Eine Menge ist kompakt, wenn jeder Häufungspunkt der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \in \end{eqnarray*}$ M in M liegt. Die Folgen alternieren nicht, haben also beide jeweils nur einen Grenzwert und Grenzwerte addieren sich. Jetzt würde dein Grenzwert ohne $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ {0} nicht in der Menge liegen. Aber dafür ist wohl diese Vereinigung da...

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