Resolventenmenge symmetrischer Operator => selbstadjungiert

07.12.2011, 22:50	KA123	Auf diesen Beitrag antworten »
Resolventenmenge symmetrischer Operator => selbstadjungiert Ich komm bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei $\begin{eqnarray} A:H \supset D(A) \to H \end{eqnarray}$ ein symmetrischer Operator auf dem Hilbertraum $\begin{eqnarray} H \neq {0} \end{eqnarray}$ . Zeigen sie nun: Gilt $\begin{eqnarray} \rho(A) \cap \mathbb R \neq \emptyset \end{eqnarray}$ , dann ist A schon selbstadjungiert. Dabei soll $\begin{eqnarray} \rho(A) \end{eqnarray}$ die Resolventenmenge von A sein. Bis jetzt bin ich auf keinen erfolgversprechenden Ansatz gekommen. Besonders, da der Operator A hier nicht als beschränkt vorausgesetzt ist, stehen mir nicht arg viele Sätze zur Verfügung. Ich habe z.B., dass ein symmetrischer Operator genau dann selbstadjungiert ist, wenn $\begin{eqnarray} R(A+i)=R(A-i)=H \end{eqnarray}$ gilt oder, wenn ich direkt die Definition nehme, müsste ich nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} D(A^) \subset D(A) \end{eqnarray}$ gilt. Nach Voraussetzung existiert ja ein $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ für das die Abbildung $\begin{eqnarray} A-\lambda \end{eqnarray}$ bijektiv ist und die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray} (A-\lambda)^{-1} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Wie mir das in dieser Situation weiterhilft, weiß ich leider nicht. Für Hinweise wäre ich sehr dankbar!

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