Potenzieren einer Matrix - Formel raten

08.12.2011, 11:56

Jazzie

Potenzieren einer Matrix - Formel raten

Meine Frage:
Gegeben ist die Matrix:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun die Potenzen $\begin{eqnarray*} A^{2} , A^{3}, A^{4}, A^{5} \end{eqnarray*}$ berechnen und eine Formel für $\begin{eqnarray*} A^{n} , n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ raten und diese per Induktion beweisen.

Was mir hierbei Probleme bereitet ist die Stelle $\begin{eqnarray*} a_{13} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ (1.Zeile, 3.Spalte).

Meine Ideen:
Soweit bin ich mit meiner Formel (stimmt definitiv Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a^{n} & n a^{n-1} & ?? \\ 0 & a^{n} & na^{n-1} \\ 0 & 0 & a^{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier die Stelle $\begin{eqnarray*} a_{13} \end{eqnarray*}$ für die berechneten Potenzen (vielleicht sieht jemand mehr als ich?) :

$\begin{eqnarray*} A^{2} : 1 \cdot 1 + 0 \cdot a^{1} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{3} : 2a \cdot 1 + 1 \cdot a^{1} = 3a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{4} : 3a^{2} \cdot 1 + 3a \cdot a = 6a^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{5} : 4a^{3} + 6a^{2} \cdot a = 10a^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{6} : 5a^{4} + 10a^{3} \cdot a = 15a^{4} \end{eqnarray*}$

Edit (Cel): LaTeX-Tags gesetzt.

08.12.2011, 12:34

wdposchmann

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RE: Potenzieren einer Matrix - Formel raten

Zitat:

Original von Jazzie
Meine Frage:
Gegeben ist die Matrix:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun die Potenzen $\begin{eqnarray*} A^{2} , A^{3}, A^{4}, A^{5} \end{eqnarray*}$ berechnen und eine Formel für $\begin{eqnarray*} A^{n} , n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ raten und diese per Induktion beweisen.

Was mir hierbei Probleme bereitet ist die Stelle $\begin{eqnarray*} a_{13} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ (1.Zeile, 3.Spalte).

Meine Ideen:
Soweit bin ich mit meiner Formel (stimmt definitiv Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a^{n} & n a^{n-1} & ?? \\ 0 & a^{n} & na^{n-1} \\ 0 & 0 & a^{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier die Stelle $\begin{eqnarray*} a_{13} \end{eqnarray*}$ für die berechneten Potenzen (vielleicht sieht jemand mehr als ich?) :

$\begin{eqnarray*} A^{2} : 1 \cdot 1 + 0 \cdot a^{1} = 1<br /> A^{3} : 2a \cdot 1 + 1 \cdot a^{1} = 3a<br /> A^{4} : 3a^{2} \cdot 1 + 3a \cdot a = 6a^{2}<br /> A^{5} : 4a^{3} + 6a^{2} \cdot a = 10a^{3}<br /> A^{6} : 5a^{4} + 10a^{3} \cdot a = 15a^{4} \end{eqnarray*}$

08.12.2011, 12:40

Cel

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Summen sind was feines. Rechne mal 0+1, 0+1+2, 0+1+2+3, 0+1+2+3+4, ... aus. Augenzwinkern

08.12.2011, 12:50

Jazzie

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Tatsache, danke smile

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