Stetigkeit einer Funktion nachweisen

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08.12.2011, 13:17	xPegasusx	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Funktion nachweisen Hallo, ich mache gerade ein paar Übungsaufgaben. Ich muss die Stetigkeit der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ für x ist nicht 0 nachweisen. Einzele Punkte nachweisen verstehe ich ja noch, da nähere ich mich mit einer beliebigen Folge an oder wende das Delta-Epsilon-Kriterium an. Aber wie mache ich das hier? Ich kenne wie gesagt nur beide oben genannte Kriterien und wir haben auch keine weiteren behandelt. Ich weiß jetzt nicht wie ich vorgehen soll. Soll ich einen Punkt raussuchen? und dann von dem Punkt aus weiter mit Folgen arbeiten? Hoffe jemand kann mir einen Ansatz geben, wie ich da vorgehen sollte.
08.12.2011, 13:36	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion nachweisen So ungefähr, aber unter "einen Punkt raussuchen" verstehst Du hoffentlich, einen beliebigen Punkt aussuchen, z.B. $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . Dann zeigst Du, dass Deine Argumentation für alle Punkte $\begin{eqnarray} x=x_0 \end{eqnarray}$ gelten, die in dem betrachteten Abschnitt liegen. Am besten beschränkst Du Dich auf positive $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und zeigst mit der Delta-Epsilon-Technik, dass dort die Funktion stetig ist. Das mit den Folgen ist ein bisschen schwierig. Du kannst ja nicht für alle unendlich vielen Folgen argumentieren.
08.12.2011, 14:12	xPegasusx	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay gut, dann probiere ich mal: Prüfen ob gilt: Es sei $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x - x_{0}\| < \delta \end{eqnarray}$ Da gilt $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x - x_{0}\| < \delta \end{eqnarray}$ Daher gilt es nun die Aussage zu prüfen, weil die Quantoren jetzt gegeben sind: $\begin{eqnarray} \forall_{ \epsilon > 0} \exists_{\delta > 0} \forall_{\|x-x_{0}\| < \delta} \|f(x) -(x_{0})\| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_{0} } \| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| \frac{x_{0}-x}{x-x_{0}} \| \end{eqnarray}$ Da sowohl Nenner als auch Nenne kleiner Delta sind, trifft die Aussage für Epsilon zu. Muss man noch mehr zeigen? Oder reicht das?
08.12.2011, 14:26	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment, ich verstehe nicht ganz. Also, ich gebe Dir jetzt ein $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ , z.B. 0.001. Nun möchte ich von Dir ein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ vernehmen, so dass $\begin{eqnarray} \| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \|< 0.001 \end{eqnarray}$ ist, wenn immer $\begin{eqnarray} \| x-x_0\| \end{eqnarray}$ kleiner ist als das Delta, das Du mir jetzt bald angibst. Ich möchte insbesondere wissen, wie Du Dein Delta aus meiner Vorgabe $\begin{eqnarray} \epsilon = 0.001 \end{eqnarray}$ ausrechnest
08.12.2011, 14:31	xPegasusx	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay jetzt bin ich verwirrt... Wie soll ich denn jetzt das Delta dazu angeben? Ich dachte Epsilon sei beliebig klein, aber größer als 0? Und Delta habe ich doch gezeigt, dass es größer als 0 ist, weil es ja kein x gleich 0 gibt? Also kann es ja nicht kleiner als 0 werden. Und die Negativenzahlen kann man ja auch berücksichtigen, dank dem Betrag.
08.12.2011, 14:37	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja selber geschrieben: Für alle Epsilon gibt es ein Delta so, dass .... Also, $\begin{eqnarray} \epsilon = 0.001 \end{eqnarray}$ . Gib mir jetzt das Delta! Was hat denn sonst Deine Behauptung, dass es zu jedem Epsilon ein Delta gebe für einen Sinn. Abgesehen verstehe ich in Deinem vorletzten Post die Formel $\begin{eqnarray} \|\frac {x_0-x}{x-x_0}\| \end{eqnarray}$ nicht. Was ist das?
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08.12.2011, 14:46	xPegasusx	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber das ist doch verallgemeinert dachte ich? Ich kann kein Delta nenne, da ich nicht weiß wie... Der letzte Post mit der Formel ist wenn ich die Seiten erweitere um den Nenner, dann erhalte ich genau das.
08.12.2011, 15:02	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet "wenn ich die Seiten erweitere um den Nenner". Meinst Du "gleichnamig machen"? Dann wäre Deine Rechnung ja falsch.... Also: Gegeben sei ein Epsilon. Gesucht ist ein Delta, das von diesem Epsilon abhängt. Wir haben $\begin{eqnarray} \|\frac {1}{x_0} - \frac{1}{x}\|=\|\frac{x-x_0}{xx_0}\| \end{eqnarray}$ (für den Fall, das Du das meintest: Der Nenner besteht aus einem Produkt!) Kannst Du mir jetzt das Delta angeben so, dass wenn ich in $\begin{eqnarray} \|\frac{x-x_0}{xx_0}\| \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} \|x-x_0\| \end{eqnarray}$ durch Dein Delta ersetze, ich dann $\begin{eqnarray} \|\frac{x-x_0}{xx_0}\|<\epsilon \end{eqnarray}$ erhalte?
08.12.2011, 15:10	xPegasusx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \delta < 0,001xx_{0} \end{eqnarray}$ Das wäre die Vorgabe für Delta oder? Aber da kann man doch auch kein Delta angeben, ich kenne x_{0} und x nicht. Und Delta kann ich doch nicht einfach einsetzen, das ist doch eine Ungleichung? x und x_{0} sollen doch kleiner sein. edit: Also wäre delta genau das, dann würde sich das ja raus kürzen und ich erhalte einen Wert Epsilon 0,001.
08.12.2011, 15:29	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig! Nicht $\begin{eqnarray} \delta < xx_0\epsilon \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} \delta = xx_0\epsilon \end{eqnarray}$ . Wenn nun $\begin{eqnarray} x, x_0 > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta= xx_0\epsilon \end{eqnarray}$ ist, dann wird $\begin{eqnarray} \|\frac {1}{x_0} - \frac{1}{x}\|=\|\frac{x-x_0}{xx_0}\|=\frac{\|x-x_0\|}{xx_0}<\frac{\delta}{xx_0}=\frac{xx_0\epsilon}{xx_0}=\epsilon \end{eqnarray}$ Dasselbe Argument gilt für $\begin{eqnarray} x, x_0 < 0 \end{eqnarray}$ Du hast allerdings recht, wenn Du bemerkst, dass sich kein "Universal-Delta" angeben lässt, das also von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ unabhängig ist. Daher sagt man, die Funktion sei auf der Menge der positiven (negativen) Zahlen nur stetig, aber nicht gleichmässig stetig.
08.12.2011, 15:45	xPegasusx	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke ich glaube das habe ich jetzt verstanden! Vielen Dank!
08.12.2011, 17:55	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, so funktioniert das nicht. Es ist ein grober und häufiger Anfängerfehler das Delta in Abhängigkeit von x zu wählen. Delta darf vom Punkt, an dem Stetigkeit nachzuweisen ist und epsilon abhängen. Nach der Methode wäre jede Funktion stetig.
08.12.2011, 19:10	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hast recht. Also $\begin{eqnarray} \delta=\frac{\epsilon x_0^2}{1+\epsilon x_0} \end{eqnarray}$ Dann haben wir: $\begin{eqnarray} \|\frac {1}{x_0} - \frac{1}{x}\|=\|\frac{x-x_0}{xx_0}\|=\frac{\|x-x_0\|}{xx_0}<\frac{\delta}{xx_0}=\frac{\epsilon x_0}{x(1+\epsilon x_0)} \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} x_0-\delta < x < x_0+\delta \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \frac{\epsilon x_0}{x(1+\epsilon x_0)}<\frac{\epsilon x_0}{(x_0-\delta)(1+\epsilon x_0)}=\frac{\epsilon x_0}{(x_0-\frac{\epsilon x_0^2}{1+\epsilon x_0})(1+\epsilon x_0)}=\frac{\epsilon x_0}{(\frac{x_0+\epsilon x_0^2-\epsilon x_0^2}{1+\epsilon x_0})(1+\epsilon x_0)}=\frac{\epsilon x_0}{x_0}=\epsilon \end{eqnarray}$

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