Stetigkeit

08.12.2011, 14:26

Dennis20

Stetigkeit

Hallo ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich mir jedoch unsicher bin.

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 1 & x\in \left]-\infty ,-1 \right[ \cup \left] 1,\infty \right[ \\ \frac{1}{n+1} & x\in \left[-\frac{1}{n}, -\frac{1}{n+1}\right[ \cup \left]\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}\right] \\ 0 & x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

unter suche ob die funktion in $\begin{eqnarray*} {x}_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Ich bin folgendermaßen vorgegangen.

$\begin{eqnarray*} f({x}_0)=f(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 \atop{1>x>0}} f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{1}{n+1} =\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 \atop{-1<x<0}} f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{1}{n+1} =\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Und da, $\begin{eqnarray*} 0\neq\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

kann sie doch nicht stetig sein in Null, das wäre doch nur der Fall wenn $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ , oder?

Könnte mir da vielleicht jemand helfen? Danke

08.12.2011, 17:25

Dennis20

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RE: Stetigkeit
Ich habe ganz vergessen hin zuschreiben, dass ich für

$\begin{eqnarray*} \left[-\frac{1}{n}, -\frac{1}{n+1}\right[ \cup \left]\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}\right]= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\left[-1, 0\right[ , \left[-\frac{1}{2}, 0 \right[ \right[ \cup \left]\left[1, 0\right[, \left[ \frac{1}{2}, 0 \right[ \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[-1, 0\right[ \cup\left[1, 0\right[ \end{eqnarray*}$

raus habe.

08.12.2011, 19:14

Dennis20

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Ach, ist ja Blödsinn was ich da schreibe.
Wenn ich doch von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ den Limes nehme, dann habe ich doch, grob gesprochen, einen Punkt "neben" dem Punkt (0,0), woraus ja folgt, dass die Funktion in 0 stetig ist.

Richtig?

05.02.2012, 21:11

didle

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Hallo

sitze grade an der gleichen Aufgabe und weiß auch nicht genau wie ich sie lösen soll.

Ist es hier richtig eine bestimmte folge zu nehmen?
Oder muss sie beliebig sein?

didle

06.02.2012, 18:48

didle

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Könnte mir da jemand was zu sagen?

didle

06.02.2012, 18:56

ThomasL

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du musst irgendeine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ nehmen, die gegen 0 kovergiert, und zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(0)=0 \end{eqnarray*}$

06.02.2012, 19:42

didle

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Hi

Vielleicht ungefähr so?

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n =0 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{1}{n}, -\frac{1}{n+1}\right[ \cup \left]\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}\right] \end{eqnarray*}$

Also gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_n)= \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1} =0 \end{eqnarray*}$

So in etwa?

didle

06.02.2012, 20:58

ThomasL

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Zitat:

Original von didle
Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{1}{n}, -\frac{1}{n+1}\right[ \cup \left]\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}\right] \end{eqnarray*}$

das ist leider falsch.
Am einfachsten wird es wohl, wenn man benützt, dass $\begin{eqnarray*} 0\le f(x)\le |x| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

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