hypergeometrische Reihe

08.12.2011, 14:54

DJ Ango

hypergeometrische Reihe

Guten Tag,

ich habe eine hypergeometrische Reihe $\begin{eqnarray*} F_{a,b,c}(z) := \sum\limits_{k\geq 0} \frac{a_{k} b_{k} }{k!c_{k} } z^{k} \end{eqnarray*}$

Meine Aufgabe ist nun den Konvergenzradius zu berechnen.

Ich habe die Formel $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{| \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k} b_{k} }{k!c_{k} } = a_{n} \end{eqnarray*}$ angewendet und komme auf R = n + 1. Ist das soweit korrekt?

nun soll ich Potenzreihen in die Form $\begin{eqnarray*} F_{a,b,c}(\pm z) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z F_{a,b,c}(\pm z) \end{eqnarray*}$ bringen.

Dabei weiß ich nicht was ich tun soll.

hier eine der Potenzreihen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k\geq 0} z^{k} \end{eqnarray*}$

08.12.2011, 15:07

René Gruber

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Zwei Fragen
1.Was weißt du über die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k,b_k,c_k \end{eqnarray*}$ ?

2.Was veranlasst dich in dem Zusammenhang zu der Begriffswahl "hypergeometrische Reihe"? verwirrt

EDIT: Mir schwant jetzt langsam, dass du hier vermutlich die äußerst selten benutzte, exotische Notation

$\begin{eqnarray*} (a)_k := a\cdot (a-1)\cdot \ldots \cdot (a-k+1) \end{eqnarray*}$

anwendest, überdies noch ohne die Klammern um das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , womit du das völlig der Verwechslungsgefahr mit "normalen" Koeffizienten aussetzt, die du zu allem Überfluss auch noch verwendest, z.B. hier

Zitat:

Original von DJ Ango
Ich habe die Formel $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{| \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k} b_{k} }{k!c_{k} } = a_{n} \end{eqnarray*}$ angewendet

ganz rechts. unglücklich

08.12.2011, 16:24

DJ Ango

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Hallo,

anscheinend habe ich da einiges nicht verstanden. Ich lade dir mal ein Bild der Aufgabenstellung hoch (zu allem überfluss habe ich da die ersten zwei Zeilen vergessen zu schreiben...)

[attach]22266[/attach]

08.12.2011, 16:38

René Gruber

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Dann lag ich ja mit meiner Vermutung so falsch nicht, es geht nur mit den Faktoren in die andere Rcihtung.

Deine Berechnung von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig, der Wert $\begin{eqnarray*} R=n+1 \end{eqnarray*}$ kann es schon deswegen nicht sein, weil $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gar nicht von n abhängen darf, sondern allenfalls von den Parametern $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ . Zeig mal die Zwischenschritte!

Bei b) muss man einfach mal ein wenig probieren! Dabei hilft es zu sehen, dass für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (m+1)_k = (m+1)\cdot (m+2)\cdot \ldots \cdot (m+k) = \frac{(k+m)!}{m!} \end{eqnarray*}$

gilt.

08.12.2011, 17:34

DJ Ango

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Okay, einen Fehler dabei habe ich selbst schon gefunden. Ich habe es jetzt anders gemacht und komme dabei auf:

[attach]22268[/attach]

(ich hoffe das ist kein Problem dass ich Bilder hochlade, nur für das immer ins Latex zu tippen brauche ich immer eine Zeit und das hier geht schneller)

08.12.2011, 22:09

Gast1234567890

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vor derselben Aufgabe sitze ich auch...

09.12.2011, 00:36

DJ Ango

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Okay, ich denke dass ich es nun hinbekommen habe. Ich habe als Konvergenzradius r=1 raus.

Mein letzter Schritt war $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{c}{n} +\frac{c}{n^{2} } +\frac{1}{n} +1}{\frac{ab}{n^{2}}+\frac{b}{n} +\frac{a}{n} +1} = 1 \end{eqnarray*}$

(da außer die beiden 1er im Zähler und Nenner alles gegen 0 konvergiert)

ist das soweit richtig?

Aufgabe b) verstehe ich noch nicht richtig.

09.12.2011, 16:05

Morillo

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Hey, ich sitze auch an dieser Aufgabe, zu deiner Anwendung des Quotientenkriteriums, was genau hast du mit dem z^k gemacht?

11.12.2011, 13:23

Ralfi1990

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was muss man bei der b) aus dem3. post machen?

12.12.2011, 23:11

Dave10

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@dj ango:

kannst du vielleicht nochmal vorrechnen wie du bei der berechnung des konvergenzradius auf deinen letzten schritt kommst? und wie schon gefragt wurde...wo ist das z^k hin?

14.12.2011, 12:05

DerBeste

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hallo dave komm in die facebookgruppe: "Übungen Mathematik Erstsemester 11/12 Uni Köln" falls du noch nicht drin bist. Prost

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