Schnittpunkt Geraden im R³

08.12.2011, 15:05

Maverickman

Schnittpunkt Geraden im R³

Meine Frage:
Die nachstehend aufgeführten Ortsvektoren geben die Positionen eines Flugzeugs A und eines Flugzeugs B in einem kartesischen Koordinatensystem zu verschiedenen Zeiten an.
$\begin{eqnarray*} Flugzeug A: a_{1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} ; a_{2} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Flugzeug B: b_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} ; b_{2} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Stellen Sie Geradengleichungen für die Flugbahnen der Geraden auf.
b) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen der Flugzeuge schneiden.
c) Kollidieren die Flugzeuge? (D.h. Gibt es einen Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ,zu dem sich beide Flugzeuge am Schnittpunkt aufhalten?)

Meine Ideen:
a) und b) habe ich bereits berechnet.
Zu c) folgende Idee:
Wir hatten bereits eine ähnliche Aufgabe, in der jedoch die Geschwindigkeiten gegeben waren.
Ich habe zunächst einmal die Richtungsvektoren der Geraden normiert. Normalerweise müsste ich diese ja nun mit den Geschwindigkeiten multiplizieren um an die Flugzeuge angepasste Angaben zu haben. Hier habe ich jedoch keine Geschwindigkeit gegeben. Wie verfahre ich nun?

08.12.2011, 18:06

chili_12

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Hi,

du musst bedenken, dass sich die Flugzeuge zum Zeitpunkt t=1 in a1 bzw b1 befinden und zum Zeitpunkt t=2 in a2 bzw b2. Du weisst also, dass sich die Flugzeuge pro Zeiteinheit um $\begin{eqnarray*} |\vec {b_1b_2}| \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} |\vec {a_1a_2}| \end{eqnarray*}$ fortbewegen.

Auf den Rest kommste denke ich selbst.

mfg

08.12.2011, 18:36

Maverickman

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RE: Schnittpunkt Geraden im R³
Sorry, stehe gerade total auf dem Schlauch und weiß leider gerade absolut nicht weiter.
War der Ansatz mit dem Normieren der Richtungsvektoren denn falsch?
Wie gesagt, in ner ähnlichen Aufgabe haben wir mit der Geschwindigkeit multipliziert und dann gleichgesetzt..

lg

09.12.2011, 01:37

chili_12

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Hi,

ja der Normierungsansatz macht nur Sinn wenn man die Geschwindigkeit, die ja durch die Länge dargestellt wird, kennt.

Diese Aufgabe hingegen ist eigentlich einfacher, da du dich damit nicht rumplagenn musst. Lass die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec {b_1b_2} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \vec {a_1a_2} \end{eqnarray*}$ einfach so wie sie sind und schon stellen die Geraden die Flugbahnen in Abhängigkeit der Zeit (der Geradenparameter) dar.

Der kleine Unterschied zur anderen Aufgabe ist, dass wir die Zeiteinheit nicht kennen. Allerdings spielt das bei der Berechnung keine Rolle, wichtig ist nur, dass sie in beiden Geradengleichungen die selbe ist.

Den Geradenschnittpunkt kennst du ja schon.

$\begin{eqnarray*} \frac {|\vec {a_1S}|}{|\vec {a_1a_2}|} \end{eqnarray*}$ sind dann die Zeiteinheiten, die das erste Flugzeug bis zum Schnittpunkt der Flugbahnenen benötigt.

Die Flugzeuge würden kollidieren, wenn beide die selbe Anzahl an Zeiteinheiten benötigen.

Ich hoffe damit ist dir geholfen.

mfg

09.12.2011, 18:46

Maverickman

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hmmm nee kann ich leider noch nicht ganz nachvollziehen. Mir ist immer noch nicht ganz klar, zu tun ist.
Ich hatte eher gedacht, die Beträge der Richtungsvektoren seien die Strecken, die die Flugzeuge im Messzeitraum zurücklegen. Dann müsste ich ja nur noch berechnen, wie viele Zeiteinheiten bis zum Schnittpunkt vergehen müssen.

Kann das alles aber gerade mathematisch überhaupt nicht umsetzen. Ich bräuchte quasi so ne kleine Anleitung, um zu wissen was ich rechnen muss.

Vielen Dank für die Mühe!

lg

10.12.2011, 02:50

chili_12

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Zitat:

Original von Maverickman
Dann müsste ich ja nur noch berechnen, wie viele Zeiteinheiten bis zum Schnittpunkt vergehen müssen.

^^ ganz genau

$\begin{eqnarray*} |\vec {a_1S}| \end{eqnarray*}$ ist die Strecke, die Flugzeug 1 vom Startpunkt bis zum Schnittpunkt (S) der Flugbahnen zurücklegen muss. Und $\begin{eqnarray*} |\vec {a_1a_2}| \end{eqnarray*}$ ist die Strecke die es pro Zeiteinheit zurücklegt.
Der Quotient bestimmt also die Anzahl Zeiteinheiten, die das Flugzeug 1 bis zum erreichen des kritischen Punktes benötigt.

Wenn du das nun noch für das 2. Flugzeug berechnest und vergleichst, weisst du ob sie den Schnittpunkt zur selben Zeit erreichen.

mfg

10.12.2011, 11:59

Maverickman

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Ist denn mit $\begin{eqnarray*} | \vec{a_{1} S} | \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt aus $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{S \end{eqnarray*}$ } gemeint?
Wenn ja, dann komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ -2 \\ 3,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | a_{1} \cdot \vec{S} | = | \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,5 \\ -2 \\ 3,5 \end{pmatrix} | = 1,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \vec{a_{1} \cdot a_{2} } | = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} | = 74 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{\vec{a_{1}\cdot S } }{a_{1}\cdot a_{2} }| ~ 0,020 \end{eqnarray*}$

und entsprechend für b dann: $\begin{eqnarray*} \frac{\vec{|b_{1}\cdot S |} }{|\vec{b_{1} \cdot b_{2} }| } ? \end{eqnarray*}$

10.12.2011, 12:39

chili_12

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Sry das war wohl etwas undeutlich ausgedrückt.

Ich hätte $\begin{eqnarray*} |\vec {A_1S}| \end{eqnarray*}$ schreiben sollen. Damit meine ich den Betrag des Verbindungsvektors von A1 zu S.

Also:

$\begin{eqnarray*} |\vec {A_1S}|=|\begin{pmatrix} s_1-a_{1,1} \\ s_2-a_{1,2} \\ s_3-a_{1,3} \end{pmatrix}| =\sqrt{( s_1-a_{1,1})^2+( s_2-a_{1,2})^2+( s_3-a_{1,3})^2} \end{eqnarray*}$

mfg

10.12.2011, 13:20

Maverickman

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Ahhh, jetzt mach alles Sinn und ich verstehs smile

..
Bei beiden kommen 1,5 Zeieinheiten raus.. d.h. es kracht !
Danke Augenzwinkern

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Schnittpunkt Geraden im R³

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