Erwartungswert

08.12.2011, 15:59

Stefan 187

Erwartungswert

Meine Frage:
Zeigen sie,dass für beliebige Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_{1},...,A_{n} \end{eqnarray*}$ in einem Wahrscheinlichkeitsraum gilt:

$\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup _{A_{i} } } =1- Produkt (1-1_{A_{i} }) \end{eqnarray*}$

Folgern sie daraus unter Verwendung eines distributivgesetzes und des erwartungswertbegriffs die Siebforlm von Sylver-Poincare!Bestimmen Sie auch eine möglichst einfach Darstellung von $\begin{eqnarray*} P(\bigcup A_{i} ) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} P(A_{i} ),1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ ,wenn alle ereignisse unabhängig voneinander sind.

Meine Ideen:
ich weiss nicht wie $\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup _{A_{i} } } \end{eqnarray*}$ definiert ist.

ich glaube $\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup _{A_{i} } } =P(A_{1})\bigcup ...\bigcup P(A_{n}) \end{eqnarray*}$

kann mir jemand helfen?

08.12.2011, 16:45

Math1986

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RE: Erwartungswert
Das ist die charakteristische Funktion, auch Indikatorfunktion genannt.
Bitte nachschlagen wie diese defineirt ist!
Definitionen nachschlagen

09.12.2011, 11:44

Stefan 187

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nach def. gilt

$\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup _{A_{i} } } =(1,x\in \bigcup A_{i} ,0 sonst.) \end{eqnarray*}$ .

Auch kann man schreiben

$\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup _{A_{i} } } =1_{A_{1} }\oplus ...\oplus 1_{A_{n} }) =1 oder 0 \end{eqnarray*}$

ist der ansatz richtig?

09.12.2011, 12:20

Math1986

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Zitat:

Original von Stefan 187
nach def. gilt

$\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup _{A_{i} } } =(1,x\in \bigcup A_{i} ,0 sonst.) \end{eqnarray*}$ .

Soweit richtig.

Zitat:

Original von Stefan 187
Auch kann man schreiben

$\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup _{A_{i} } } =1_{A_{1} }\oplus ...\oplus 1_{A_{n} }) =1 oder 0 \end{eqnarray*}$

ist der ansatz richtig?

Was genau bezeichnet hier $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ , und was heißt hier "1 oder 0"?

09.12.2011, 13:48

Stefan 187

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also ich unterscheide zwei fälle :
1.) $\begin{eqnarray*} x\in \bigcup A_{i} \end{eqnarray*}$ und 2.) x nicht element $\begin{eqnarray*} \bigcup A_{i} \end{eqnarray*}$

gilt 1.), dann folgt
$\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup A_{i} } =1 \end{eqnarray*}$ .
da $\begin{eqnarray*} x\in \bigcup A_{i} \end{eqnarray*}$ folgt weitehin $\begin{eqnarray*} x\in A_{1},...,x\in A_{2} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} 1-produkt (1-A_{i})=1- produkt(1-1)=1 \end{eqnarray*}$

bei 2.) folgt
x nicht element $\begin{eqnarray*} \bigcup A_{i} \end{eqnarray*}$
somit
$\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup A_{i} } =0 \end{eqnarray*}$ .
dann gilt
$\begin{eqnarray*} 1-produkt (1-A_{i})=1- produkt(1-0)=0 \end{eqnarray*}$

somit wäre die erste behauptung gezeigt

09.12.2011, 14:39

stefan 187

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ok ich korrigiere micht

$\begin{eqnarray*} 1_{\bigcup A_{i} }=1-1_{\cap A_{i} ^{c} } =1-produkt A_{i} ^{c}= 1- produkt (1-A_{i} ) \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich aus dieser formel mit hilfe von distributivgesetz und erwartungswert die siebformel von sylver-poincare herleiten

nur da fehlt mir der ansatz

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