Lineare (Un-)Abhängigkeit von Mengen in Vektorräumen

08.12.2011, 16:06	O_Lambda	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare (Un-)Abhängigkeit von Mengen in Vektorräumen Hallo! Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Mengen in Vektorräumen beweisen soll und komme bei zwei der Teilaufgaben überhaupt nicht weiter! a) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 123 \\ \frac{3}{4} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} cos(\frac{1}{3}) \\ sin(\frac{7}{13} ) \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \sqrt{17} \\ \frac{-50}{49} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \pi \\ \frac{3\pi }{177} \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \subset \mathbb R² \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \left\{ 2,1+2X,X²,2X²+X³,X+2X³\right\} \subset F3\left[X\right] \end{eqnarray}$ wobei F3[X] den Raum der Polynome mit Koeffizienten aus F3 bezeichnet. zu a) da hatte ich mir überlegt, ob ich das mit einem LGS machen kann, aber da es 4 Spalten und nur 2 Zeilen hat würde das mich ja nirgends hinbringen, außerdem ist das mit den ganzen wurzeln sinus etc. ja eine totale rumrechnerei, da muss es ja irgendeinen trick geben?? dann hab ich gedacht ich könnte vllt beweisen, dass eine teilmenge der menge linear abhängig ist, die ist jedoch linear unabhängig und daraus kann ich ja nicht schließen dass dann die ganze menge linear unabhängig ist - und hier hänge ich jetzt -.- zu b) mit der weiß ich leider garnichts anzufangen, da wir polynome in der vorlesung nur kurz angeschnitten haben und ich dazu auch nirgends ein beispiel finden kann... muss ich das irgendwie umschreiben und wenn dann wie? danke schonmal im voraus!!!!=) O_Lambda
08.12.2011, 19:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Welche Dimension hat der reelle Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ? Die Dimension eines (endlichdimensionalen) Vektorraums ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. b) Tipp: Addiere die Polynome.
10.12.2011, 12:39	O_Lambda	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja stimmt also die a) hab ich jetzt=) danke!! bei der b hatte ich den tipp von meinem übungsleiter bekommen, dass ich die polynome über die basis von F3 [X] also $\begin{eqnarray} \left\{ 1,X,X²,X³,...\right\} \end{eqnarray}$ zu vektoren umformen kann und dann mit diesen weiterarbeiten... jetzt frage ich mich aber noch ob dann X³ in F3[X] nicht 0 ist? oder wäre nur die zahl 3 = 0? was hattest du gemeint mit polynome addieren?
10.12.2011, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
3=0. Sonst nichts. 3X=0, weil 3=0, aber X³ ist nicht 0. Mit addieren meine ich addieren. z.B. 2+(1+2X)=3+2X=2X . Mein Tipp heißt genauer: Addiere alle Polynome der Menge.
10.12.2011, 13:32	O_Lambda	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die hilfe! ich konnte die aufgabe jetzt lösen =)

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