Konvergenz einer Reihe

08.12.2011, 20:49

figuerro

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Hallo leute!
ich hab 3 Aufgaben die ich bezüglich der Konvergenz von Reihen untersuchen soll.

Die Fragenstellung:
"Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Geben Sie bei den konvergenten Reihen an, ob diese auch absolut konvergieren.

a)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\sqrt[3]{k} }{\left(k+1\right)\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^{k} }{k^{k} } \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k} }{k^{2} } \end{eqnarray*}$

Ich wär für ein paar tipps und hilfestellungen sehr dankbar smile

mfg figuerro

Meine Ideen:
Bei der Aufgabe a) hab ich um ehrlich zu sein keinen Schimmer wie ich die angehen soll, da ich keine Reihe kenne die ähnlich zu der ist.

Bei der Aufgabe b) hab ich das Quotientenkriterium angewandt.

$\begin{eqnarray*} a_{k} = 2^{k} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^{k} }{k^{k} } = \frac{a_{k+1} }{a_{k} } = \frac{\frac{2^{k+1} }{k^{k+1} }}{\frac{2^{k} }{k^{k} }} = \frac{2}{k} \end{eqnarray*}$
jetzt hab ich 2/k und jetzt? normalerweise kommt da ein grenzwert raus.. was mach ich jetzt damit?

Bei der Aufgabe c) hab ich das Leibniz Kriterium angewandt, da (-1)^k eine alternierende Reihe ist.
$\begin{eqnarray*} b_{k}=k^{-2} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k} }{k^{2} } = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k}k^{-2} b_{k} ist immer positiv (b_{k}\geq b_{k} 0), b_{k+1}\leq b_{k} --> monoton fallend \lim_{k \to \infty } b_{n} = 0 --> konvergent --> nur bedingt konvergent \end{eqnarray*}$
..weil sich die alternierende Reihe verändern würde und man nur positive Werte hätte (das wär ja keine alternierende Reihe mehr).

08.12.2011, 20:59

Mulder

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RE: Konvergenz einer Reihe
Für die a) und die c) frisch nochmal dein Wissen über das Konvergenzverhalten der allgemeinen harmonischen Reihe auf. Bei a) würde ich erstmal ein wenig mit Potenzgesetzen arbeiten und dann geeignet abschätzen. Und bei c) ist Leibnizkriterium richtig, aber bei der absoluten Konvergenz überleg nochmal.

Bei der b) ergäbe sich allenfalls $\begin{eqnarray*} (k+1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ bei Anwendung des Quotientenkriteriums. Du hast ja einfach nur $\begin{eqnarray*} k^{k+1} \end{eqnarray*}$ geschrieben. Trotzdem funktioniert es. Wenn der Bruch gegen 0 konvergiert, ist doch alles in Butter. Oder ist 0 kein Grenzwert?

Bei a) und b) ist ansonsten Konvergenz ja gleichbedeutend mit absoluter Konvergenz, weil eh alle Summanden positiv sind.

08.12.2011, 22:16

figuerro

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RE: Konvergenz einer Reihe
bei der aufgabe a) hab ich jetzt das raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{k^{\frac{3}{2} } }{(k+1)k^{\frac{1}{2} } } = \frac{k}{k+1} = k \end{eqnarray*}$

heißt das, dass die reihe gegen unendlich läuft ?

b)
dadurch das ich den fehler gemacht hab den du angedeutet hast, verändert sich bei mir alles.
es kommt nicht mehr 2/k raus.

ich bleib hier stecken:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(k^{k+1})(1^{k+1}) }*k^{k} = \frac{2k^{k} }{(k^{k+1}+1^{k+1} ) } \end{eqnarray*}$
nur 2^n lässt sich wegkürzen aber der rest bleibt. Und nun?? Hammer

c)
wenn ich k=3 einsetze krieg ich negative werte raus. bei der absoluten konvergenz setze ich ja beträge. da müsste immer etwas positives raus kommen, tut es nicht. dh nur bedingt konvergent??

08.12.2011, 22:31

Mulder

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von figuerro
bei der aufgabe a) hab ich jetzt das raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{k^{\frac{3}{2} } }{(k+1)k^{\frac{1}{2} } } = \frac{k}{k+1} = k \end{eqnarray*}$

heißt das, dass die reihe gegen unendlich läuft ?

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{k} \neq k^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Und das zweite Gleichheitszeichen ist eine absolute Katastrophe!

Was du da bei der b) hast, kann ich absolut nicht nachvollziehen. Mir scheint, es scheitert insgesamt noch an diversen elementaren Rechenregeln.

Zitat:

Original von figuerro
c)
wenn ich k=3 einsetze krieg ich negative werte raus. bei der absoluten konvergenz setze ich ja beträge. da müsste immer etwas positives raus kommen, tut es nicht. dh nur bedingt konvergent??

Ich kann meinen Einwand nur wiederholen: Wie sieht es mit dem Konvergenzverhalten der allgemeinen harmonsichen Reihe aus? Du sollstest den Hinweisen, die man dir gibt, auch folgen. Wenn du den Betrag betrachten willst, was macht man dann mit dem (-1)^k?

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