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09.12.2011, 08:54	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Kategorien Hi @ all, Ich versuche gerade ein wenig mit Kategorientheorie warm zu werden. Ich betarchte die Kategorien mit folgenden Daten: Kategorie C: Objekte: Boolesche Algebren Morphismen: Boolesche Homomorphismen Identität: x ---> x Komposition: Übliche Hintereinanderausführung Kategorie D: Objekte: Boolesche Ringe Morphismen: Boolesche Homomorphismen Identität: x ---> x Komposition: übliche Hintereinanderausführung. Nun nehme ich den Funktor F, der jeder Booleschen Algebra den Ring zuordnet, der durch die Mutation $\begin{eqnarray} a + b=a \Delta b, a \cdot b=a \wedge b \end{eqnarray}$ entseht und den Funktor G, der jedem Booleschen Ring die Algebra zuordnet mit $\begin{eqnarray} a \vee b=a+b+ab,a \cdot b=a \wedge b, \end{eqnarray}$ . Dieser ordnet die Objete eindeutig einander zu. Dazu rechne ich $\begin{eqnarray} a \Delta b \Delta ab=a \vee b \end{eqnarray}$ nach. Nun muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} FG=id_D \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} GF=id_C \end{eqnarray}$ . Reicht es aus zu zeigen, dass jeder Boolesche Homomorphismus ein Ringhomomorphismus ist? Irgendwie ist mir das ein wenig zu abstrakt....
10.12.2011, 12:29	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kategorien Ich hab mir noch ein paar Gedanken gemacht: Wir beschreiben die Funktoren folgendermaßen: Edit: Pfeildiagramm entfernt, da es nicht interpretiert wurde.... Dabei ist F der Funktor, der wie gesagt jede Boolesche Algebra auf den zu ihr gehörenden Booleshen Ring abbildet. Nun ist B eine Boolesche Algebra, R(B) der Ring, der durch die Mutation $\begin{eqnarray} a+b=a\Delta b \end{eqnarray}$ entsteht und B(R(B))) die Algebra, die durch die Mutation $\begin{eqnarray} a \vee b=a+b+a\cdot b \end{eqnarray}$ entsteht. Nun zeige ich, dass B(R(B))=B ist (kein Problem) und andersherum, dass R(B(R))=R ist. Damit habe ich die Objekte schon mal 1 zu 1 zugeordnet. Nun muss ich noch die Morphismen zuordnen, also GFf=f und FGg=g zeigen. Nun ist jeder Kern eines Homomorphismus ein Ideal, und jedes Ideal in einer Booleschen Algebra ist auch ein Ideal in dem zu ihr gehörenden Ring und andersherum (auch kein Problem). Nun identifiziere ich den Homomorphismus von A auf A' mit seinem Kern, also einem Ideal in A und den Ringhomomorphismus mit einem Ideal in FA. Die Ideale sind gleich. (wäre noch zu zeigen, ist aber unproblematisch). Nun ordne ich also jedem Ideal in A ein Ideal in FA zu und damit auch einen Homomorphismus, also surjektiv. Sind die Idelae unterschiedlich, so können sie nicht Kern des gleichen Homomorphismus sein, also injektiv. und damit bijektiv. Die Frage die sich mir noch stellt ist, ob es sinnvoll ist, einen "algebraischen Zugang" zu suchen, oder ob die Beweisführung in Kategorien irgendwann noch abstrakter wird als die in der Algebra und ein algebraischer Zugang nur hinderlich ist. Edit: Hmm, irgendwie wird der Befeh \stackrel nicht interprtiert interpretiert

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