gewichtete Nutzenfunktion Umformung

09.12.2011, 11:57

meeego

gewichtete Nutzenfunktion Umformung

Meine Frage:
Hallo. Meine Frage: Wie kommt man von dieser Gleichung:
$\begin{eqnarray*} <br /> u\left(L\right) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} 2^{\alpha n} \cdot \left[e^{- \left(\left(n-1\right)\ln2\right)^\gamma}-e^{-\left(n\ln2\right)^\gamma } \right]<br /> \end{eqnarray*}$
auf diese Gleichung:
$\begin{eqnarray*} <br /> u\left(L\right) = 2^{\alpha n}+ \left(2^\alpha - 1\right) \sum\limits_{n=1}^{+ \infty } 2^{\alpha n-n^\gamma \left(\ln2\right)^{\gamma -1} }<br /> \end{eqnarray*}$

Um jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Meine Ideen:
Wieso verschwindet die e Funktion einfach. Jeglicher Versuch Potenzgesetze anzuwenden haben bei mir nicht zu dem Ergebnis geführt.

09.12.2011, 12:00

Steffen Bühler

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RE: gewichtete Nutzenfunktion Umformung

Zitat:

Original von meeego
Jeglicher Versuch Potenzgesetze anzuwenden haben bei mir nicht zu dem Ergebnis geführt.

Noch nicht mal

$\begin{eqnarray*} a^x = e^{x \cdot \ln a} \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße
Steffen

09.12.2011, 12:38

meeego

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Was mich stört ist dieses gamma, welches da noch im Exponenten steht.

09.12.2011, 14:31

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von meeego
Was mich stört ist dieses gamma, welches da noch im Exponenten steht.

Stimmt, das hatte ich wohl multiplikativ gelesen. Auch nach einer guten Stunde Rumrechnen stehe ich da genauso an wie Du. Vielleicht hat noch jemand eine gute Idee, zum Beispiel wie man

$\begin{eqnarray*} e^{(\ln 2)^x} \end{eqnarray*}$

vereinfachen kann.

Viele Grüße
Steffen

10.12.2011, 00:02

juffo-wup

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Konvergenzfragen ignorierend,

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^{\alpha n} \cdot \left[e^{- \left(\left(n-1\right)\ln2\right)^\gamma}-e^{-\left(n\ln2\right)^\gamma } \right]=\sum_{n=0}^{\infty}2^{\alpha (n+1)}e^{-(n\ln(2))^{\gamma}}-\sum_{n=1}^{\infty}2^{\alpha n}e^{-(n\ln(2))^{\gamma}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2^{\alpha}+\sum_{n=1}^{\infty}2^{\alpha(n+1)}e^{-(n\ln(2))^{\gamma}}-\sum_{n=1}^{\infty}2^{\alpha n}e^{-(n\ln(2))^{\gamma}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2^{\alpha}+(2^{\alpha}-1) \sum_{n=1}^{\infty}2^{\alpha n}e^{-(n\ln(2))^{\gamma}} \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} e^{-(n\ln(2))^{\gamma}}=(e^{\ln(2)})^{-n^{\gamma}\ln(2)^{\gamma-1}}=2^{-n^{\gamma}\ln(2)^{\gamma-1}} \end{eqnarray*}$

10.12.2011, 11:41

meeego

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so ist es, vielen Dank!!

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