Funktion auf Stetigkeit untersuchen

09.12.2011, 17:19

xPegasusx

Funktion auf Stetigkeit untersuchen

Hi,

ich soll eine Funktion auf Stetigkeit untersuchen.
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
f(x):
$\begin{eqnarray*} x^{2} wenn x <0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+1 wenn x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Meine Vorgehensweise:
Ich untersuche $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ weil der Sachverhalt dies meiner Meinung nach hergibt.

Zu nächst für $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge die gegen $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ konvergiert
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$

Dies übertrage ich dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(x_{n}) = (x_{0})^{2} \end{eqnarray*}$
da ja $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ konvergiert und das Quadrat daraus nichts veränder erhalte ich $\begin{eqnarray*} f(x_{n}) = f(x_{0}) \end{eqnarray*}$

Als nächstes untersuche ich x+1:
Die Voraussetzung der Folge wie oben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(x_{n}) \not= x_{0} +1 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Funktion f nicht stetig.

Passt das so?
Ich hab noch eine weitere Aufgabe, die fange ich dann an wenn ich die habe Augenzwinkern

09.12.2011, 17:41

xPegasusx

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Ich glaube es heißt nicht n -> unendlich sondern $\begin{eqnarray*} x_{n} -> x_{0} \end{eqnarray*}$

09.12.2011, 17:47

Cel

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Hallo,

es passt noch nicht ganz. Du musst an die Folgen noch Anforderungen stellen, denn sonst kannst du über $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(x_n) \end{eqnarray*}$ gar nichts sagen, das möchtest du ja gerade berechnen. Augenzwinkern

Sagen wir also, eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert von unten gegen 0, also $\begin{eqnarray*} x_n < 0 \, \forall \, n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \to 0 \end{eqnarray*}$ , man schreibt dann $\begin{eqnarray*} x_n \uparrow 0 \end{eqnarray*}$ .

DANN kannst du auch was über $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ sagen, schließlich ist das Argument immer < 0. $\begin{eqnarray*} f(x_n) = x_n^2 \to 0 \end{eqnarray*}$ . Da hast du recht.

So, wie sieht es jetzt aus, wenn $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ von oben gegen 0 konvergiert? Du hast das alles übrigens schon so halb-richtig gemacht, aber es muss sauber formuliert werden.

09.12.2011, 18:01

xPegasusx

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Danke schon mal!

Dann formuliere ich mal das hoffentlich sauber für die untere Bedingung.

$\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0, $\begin{eqnarray*} x_{n} < 0 \forall n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{n} \downarrow 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} f(x_{n}) = x_{n} +1 \Rightarrow 1 \end{eqnarray*}$
Damit ist die Funktion nicht stetig.

09.12.2011, 22:17

Cel

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Zitat:

Original von xPegasusx
$\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0, $\begin{eqnarray*} x_{n} < 0 \forall n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{n} \downarrow 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} f(x_{n}) = x_{n} +1 \to 1 \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} x_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ schreibst, dann stimmt alles. Freude

09.12.2011, 22:59

xPegasusx

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Stimmt, war nur ein Logikfehler.
Es soll ja über "0" sein, aber es las sich so als wäre es "mehr".
Aber ich bin ja nur in einer sehr sehr kleinen Umgebung.

Danke!

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