Grenzwerte berechnen

09.12.2011, 18:43

misantrophe

Grenzwerte berechnen

Meine Frage:
Hallo!
Ich brauch unbedingt Hilfe bei Grenzwertberechnungen. Da es anscheinend sehr wichtig ist in Analysis solche Berechnungen zu beherschen,(spätestens zur Prüfung) wollte ich mal fragen, ob ihr ein paar gute Seiten oder Bücher kennt, wo man es erlernen kann.
Ich weiß eine richtige Anleitung gibt es nicht dafür, aber eine gewisse Vorgehensweise wird es doch bestimmt geben smile

Ich hänge auch bei ein paar Aufgaben, ich find es echt super falls irgendjemand mal drüberschauen könnte smile

Grenzwerte und Konvergenz
1.)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ln(1 + \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

2.)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ln(1 + (\frac{1}{(n(n+2)}) \end{eqnarray*}$

Nur Grenzwerte^^

3.)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \sqrt{1 + |x|}}{x} \end{eqnarray*}$

4.)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x e^x}{a^x -1} ; a>0 ; a!=1 \end{eqnarray*}$

5.)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} \end{eqnarray*}$
wobei
$\begin{eqnarray*} f: D->\mathbb R_+^* \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: D->\mathbb R \end{eqnarray*}$

gelte, und diese grenzwerte existieren:

$\begin{eqnarray*} \lim {x \to a} mit f(x) =: c_1 \in \mathbb R_+^* \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim {x \to a}mit g(x) =: c_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

6.)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (2 + x^2)^{\frac{e^x - 1}{2x}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ok ich hab mich schonmal veruscht an den Aufgaben^^

1.) Hier weiß ich, dass die Folge
$\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ der grenzwert 1 ist und der Logarithmus somit 0 ist.
Aber was sagt mir, dass für die Reihe und die Konvergenz? welches Kriterium würde sichhier anbieten?

2.)HIer ist eigtl die glei9che wie oben. hat den Grenzwert 1 und der Logarithmus ist somit 0. Aber ich weiß nicht was es mit der reihe auf sich hat unglücklich

3.)Ok ich weiß aus der Vorlesung, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \end{eqnarray*}$
den grenzwert 1 besitzt. jetzt muss ich nur noch die wurzel und betrag wegbekommen smile

4.)hier muss man ja bestimmt eine fallunterscheidnug machen für a>0 und a<=0
kann ich hier das den grenzwert von 3.) irgendwie miteinbeziehen?

5.) ähm ja die habe ihc ehrlihc gesagt nicht verstanden, da die ganz schön verwirrend ist. Vielleicht könnt ihr mich ein bischen aufklären?

6.)hier muss man es bestimmt umformen mit dem logarithmus oder? oder iwie so?
$\begin{eqnarray*} e^{ln(2 + x^2)* (\frac{e^x -1}{2x})} \end{eqnarray*}$

achso wichtig zu erwähnen wäre vllt noch, dass wir den satz von L'Hospital leider noch nicht bewiesen haben und ich den deswegen nicht anwenden darf unglücklich

puh das hat jetzt alles ewig gedauert einzutippen. bitte bitte helft mir Augenzwinkern

09.12.2011, 19:03

HAL 9000

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Wegen

$\begin{eqnarray*} \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \ln\left( \frac{n+1}{n} \right) = \ln(n+1)-\ln(n) \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \ln\left( 1 + \frac{1}{n(n+2)} \right) = \ln\left( \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} \right) = (\ln(n+1)-\ln(n))-(\ln(n+2)-\ln(n+1)) \end{eqnarray*}$

sind 1) und 2) jeweils Teleskopreihen.

09.12.2011, 19:12

misantrophe

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Hallo pc von discovery xD
vielen dank! jetzt wo du es sagst sehe ich es auch smile

und der grenzwert von teleskopreihen ist ja der der folge. damit ist er ja 0 und die reihe auch konvergent richtig?

hättest du vllt einen tip, wo man allgemein grenzwertberechnung lernen kann? oder kommt dass erst durch erfahrung mit der zeit?

09.12.2011, 19:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von misantrophe
und der grenzwert von teleskopreihen ist ja der der folge. damit ist er ja 0 und die reihe auch konvergent richtig?

Nicht so oberflächlich, denk nochmal beide Fälle genau durch:

In der Konsequenz ist nämlich 1) divergent, aber 2) konvergent.

09.12.2011, 19:57

misantrophe

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also ich glaube, dass eine teleskopsumme konvergent ist, wenn sie einen grenzwert besitzt.

also ich glaube bei1.)
$\begin{eqnarray*} \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \ln\left( \frac{n+1}{n} \right) = \ln(n+1)-\ln(n) = \ln(1) \end{eqnarray*}$
und demnach wäre der grenzwert doch 0... oder hab ich einen denkfehler, dass sie auf divergenz kommen? :[

bei 2.)
$\begin{eqnarray*} \ln\left( 1 + \frac{1}{n(n+2)} \right) = \ln\left( \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} \right) = (\ln(n+1)-\ln(n))-(\ln(n+2)-\ln(n+1)) = \ln(1) - \ln(1) = \ln(0) \end{eqnarray*}$

und hier wäre der grenzwert dann 1. und da dieser existiert doch auch konvergent...

aber ich glaube ich versteh da gerade nicht warum die erste divergent ist unglücklich

aber vielen dank für deine antworten Augenzwinkern

09.12.2011, 20:05

HAL 9000

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Vergiss das, was du über Teleskopreihen zu wissen glaubst (!), betrachte die Partialsummen! Und da ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^k \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \sum_{n=1}^k (\ln(n+1)-\ln(n)) = \ln(k+1)-\ln(1) = \ln(k+1)\to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ ,

also Divergenz.

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