Lineare Abbildungen |
09.12.2011, 20:31 | LaPaloma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lineare Abbildungen Betrachten Sie im Zeilenraum R³ die drei Vektoren u= (1,2,-3) v=(1,-2,1) w= (0,6,-6) Untersuchen Sie, ob es eine R-lineare Abbildunf F: R³ --> R³ gibt, die a.) die beiden Bedingungen F(u) = v und F(v) = -w erfüllt b.) die drei BedingungenF(u) = v, F(v) = -w und F(w) Element aus Ru erfüllt. Meine Ideen: Ich hab mir die drei Vektoren in eine Matrix geschrieben und Zeilenumformungen gemacht. Hab da nun raus, dass man aus u+v eine Basis bilden kann. Bringt mir das irgendwie was? Wüsste nicht wie ich die verschiedenen Bedingungen abprüfen soll. |
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10.12.2011, 11:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
u+v ist selbstverständlich eine Basis von R(u+v). das ist trivial. Du meinst zurecht, dass {u,v} eine Basis eines 2-dimensionalen Unterraums von R² ist. a) Ja, die Bilder einer Basis kann man beliebig festsetzen, dadurch ist die lineare Abbildung vollständig definiert. b) w ist Element der u,v-Ebene, also ist w=au+bv. Damit ist F(w) durch F(u) und F(v) berechenbar. Ist das ein skalares Vielfaches von u ? |
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10.12.2011, 15:13 | LaPaloma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a.) Dann suche ich mir zu u und v noch einen dritten Vektor oder? Wenn der unabhängig von u und v ist, hab ich ja wieder eine Basis des R³. Ich weiß aber nicht inwiefern mir das weiter hilft. Kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass F(u) = v ist. b.) Nein, weil v und u unabhängig sind!? |
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10.12.2011, 17:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a) falsch b) falsch a) Du brauchst keine Basis von R³, also keinen dritten Basisvektor. {u,v} ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, also die Basis eines 2-dimensionalen Unterraums, das ist eine Ebene im R³. F ist eine lineare Abbildung . b) Deine Vermutung ist völlig unbegründet. Du musst F(w) berechnen. Dann kannst du entscheiden, ob oder ob nicht . |
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10.12.2011, 18:30 | LaPaloma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a.) Und die Bedingungen prüfe ich dann einfach durch stumpfes rechnen ab? Also F(u)=.....=v und F(v)=.....=-w? b.) Wie berechne ich denn F (w)? Ich hab doch nur w gegeben... Also w=au+bv Somit: (0,6,-6)= au+bv Durch Zeilenumformungen hab ich nun rausbekommen, dass ich (1,2,-3) und (0,-4,4) als Basis nehmen kann Dann wäre w= 0u+(-1,5v) Hilft mir das irgendwas über F(w) auszusagen? |
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10.12.2011, 20:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
w ist falsch. Wäre es richtig, hülfe es. |
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10.12.2011, 20:31 | LaPaloma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann hab ich keine weitere Idee wie ich sonst auf mein w oder F(w) komme... |
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11.12.2011, 11:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Durch eine einzige Zeilenumformung und 2 Divisionen (Gauß-Algorithmus) erkennt man |
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11.12.2011, 15:01 | LaPaloma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kommen wir auf Der Rest ist ja dann klar. Das ist ja einfach nur einsetzen und ausrechnen. |
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11.12.2011, 18:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sage ich doch die ganze Zeit.Schreibe u,v,w in die Zeilen, ziehe u von v ab und teile durch -4, teile w durch 6, und schon steht's da. (Gauß-Algorithmus) |
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