Lineare Abbildungen

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LaPaloma Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen
Meine Frage:
Betrachten Sie im Zeilenraum R³ die drei Vektoren

u= (1,2,-3) v=(1,-2,1) w= (0,6,-6)

Untersuchen Sie, ob es eine R-lineare Abbildunf F: R³ --> R³ gibt, die

a.) die beiden Bedingungen F(u) = v und F(v) = -w erfüllt
b.) die drei BedingungenF(u) = v, F(v) = -w und F(w) Element aus Ru erfüllt.


Meine Ideen:
Ich hab mir die drei Vektoren in eine Matrix geschrieben und Zeilenumformungen gemacht. Hab da nun raus, dass man aus u+v eine Basis bilden kann. Bringt mir das irgendwie was? Wüsste nicht wie ich die verschiedenen Bedingungen abprüfen soll.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

u+v ist selbstverständlich eine Basis von R(u+v). das ist trivial.
Du meinst zurecht, dass {u,v} eine Basis eines 2-dimensionalen Unterraums von R² ist.

a) Ja, die Bilder einer Basis kann man beliebig festsetzen, dadurch ist die lineare Abbildung vollständig definiert.

b) w ist Element der u,v-Ebene, also ist w=au+bv. Damit ist F(w) durch F(u) und F(v) berechenbar. Ist das ein skalares Vielfaches von u ?
LaPaloma Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
u+v ist selbstverständlich eine Basis von R(u+v). das ist trivial.
Du meinst zurecht, dass {u,v} eine Basis eines 2-dimensionalen Unterraums von R² ist.

a) Ja, die Bilder einer Basis kann man beliebig festsetzen, dadurch ist die lineare Abbildung vollständig definiert.

b) w ist Element der u,v-Ebene, also ist w=au+bv. Damit ist F(w) durch F(u) und F(v) berechenbar. Ist das ein skalares Vielfaches von u ?



a.) Dann suche ich mir zu u und v noch einen dritten Vektor oder? Wenn der unabhängig von u und v ist, hab ich ja wieder eine Basis des R³. Ich weiß aber nicht inwiefern mir das weiter hilft. Kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass F(u) = v ist.

b.) Nein, weil v und u unabhängig sind!?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a) falsch
b) falsch

a) Du brauchst keine Basis von R³, also keinen dritten Basisvektor. {u,v} ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, also die Basis eines 2-dimensionalen Unterraums, das ist eine Ebene im R³.
F ist eine lineare Abbildung .
b) Deine Vermutung ist völlig unbegründet. Du musst F(w) berechnen. Dann kannst du entscheiden, ob oder ob nicht .
LaPaloma Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
a) falsch
b) falsch

a) Du brauchst keine Basis von R³, also keinen dritten Basisvektor. {u,v} ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, also die Basis eines 2-dimensionalen Unterraums, das ist eine Ebene im R³.
F ist eine lineare Abbildung .
b) Deine Vermutung ist völlig unbegründet. Du musst F(w) berechnen. Dann kannst du entscheiden, ob oder ob nicht .


a.) Und die Bedingungen prüfe ich dann einfach durch stumpfes rechnen ab?
Also F(u)=.....=v und F(v)=.....=-w?

b.) Wie berechne ich denn F (w)? Ich hab doch nur w gegeben...
Also w=au+bv
Somit: (0,6,-6)= au+bv

Durch Zeilenumformungen hab ich nun rausbekommen, dass ich (1,2,-3) und (0,-4,4) als Basis nehmen kann

Dann wäre w= 0u+(-1,5v)
Hilft mir das irgendwas über F(w) auszusagen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

w ist falsch. Wäre es richtig, hülfe es. Augenzwinkern
 
 
LaPaloma Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich keine weitere Idee wie ich sonst auf mein w oder F(w) komme...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Durch eine einzige Zeilenumformung und 2 Divisionen (Gauß-Algorithmus) erkennt man
LaPaloma Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Durch eine einzige Zeilenumformung und 2 Divisionen (Gauß-Algorithmus) erkennt man


Kommen wir auf

Der Rest ist ja dann klar. Das ist ja einfach nur einsetzen und ausrechnen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das sage ich doch die ganze Zeit.Schreibe u,v,w in die Zeilen, ziehe u von v ab und teile durch -4, teile w durch 6, und schon steht's da. (Gauß-Algorithmus)
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