Komplexe Zahlen

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10.12.2011, 10:43	Ilona889	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Meine Frage: $\begin{eqnarray} (z_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ konvergente Folge in C und z* (konjugiert komplexe Folge) auch konvergent und Grenzwert bestimmen? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} (z_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ ist konvergent wenn Re $\begin{eqnarray} (z_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ und Im $\begin{eqnarray} (z_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ konvergent sind. Also ist $\begin{eqnarray} (z_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ konvergent, dann gitl: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to unendlich} z_{n} = \lim_{n \to unendlich} Re(z_{n}) + i \lim_{n \to unendlich} Im (z_{n} ) \end{eqnarray}$ Wenn a, b $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt wegen elementaren ABschätzungen: \|a\|,\|b\| $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ \|a+ib\| = $\begin{eqnarray} \sqrt{a²+b²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ \|a\|+\|b\| Setzt man $\begin{eqnarray} z_{n} = a_{n} +ib_{n} , z=a+ib \end{eqnarray}$ => Seien $\begin{eqnarray} \lim_{n \to unendlich} z_{n} = z und Epsilon > 0. \end{eqnarray}$ Dann exisitiert ein $\begin{eqnarray} n_{0} \in \mathbb N mit \|z-z_{n}\|< Epsilon \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} \|a_{n} -a\|\leq \|z_{n}-z\|<Epsilon \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \|b_{n} -b\|\leq \|z_{n}-z\|<Epsilon \end{eqnarray}$ Es folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to unendlich} a_{n} =a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to unendlich} b_{n} =b \end{eqnarray}$ <= Gelten $\begin{eqnarray} \lim_{n \to unendlich} a_{n} =a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to unendlich} b_{n} =b \end{eqnarray}$ und sei Epsilon > 0, dann gibt es ein $\begin{eqnarray} n_{1} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|a_{n}-a\|< \frac{Eps}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq n_{1} \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} n_{2} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|b_{n}-b\|< \frac{Eps}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq n_{2} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} n\geq n_{0} : max {n_{1} , n_{2}} <br /> \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|z_{n}-z\|\leq \|a_{n} -a\|+\|b_{n} -b\|<Eps<br /> \end{eqnarray}$ Daraus folgt ja dann wieder die Behauptung. Somit habe ich doch Konvergenz und Grenzwert für z_n bewiesen. Wie funktioniert das nun für die konjugiert komplexe Zahl z*? Kann mir bitte jemand zeigen, wie man das nun berechnet?
10.12.2011, 14:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet denn die konjugiert komplexe Zahl? Falls das da oben stimmt (was ich jetzt nicht verifiziert habe), brauchst du ja nur bedenken, dass der Realteil gleich bleibt und der Imaginärteil negativ wird. Welche Auswirkungen kann dies auf den Grenzwert haben? mY+
10.12.2011, 14:25	Ilona889	Auf diesen Beitrag antworten »
z*= a- ib ist die konjugiert komplexe zahl Nur ich weiß nun nicht wie ich hierfür konvergenz und Grenzwert bestimmen soll. Könnte mir jemand da nen Ansatz geben bzw. sagen, was ich nun noch ändern muss bei dem was ich schon berechnet habe?
10.12.2011, 14:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du dies für a + bi schlüssig bewiesen hast, sollte dies doch auch für a - bi keine Schwierigkeiten bereiten. So verstehe zummindest ich dein Problem. mY+
10.12.2011, 14:43	Ilona889	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich bin wie folgt dann vorgegangen, bin mir nur total unsicher ob das mit dem größer gleich usw. alles dann auch richtig bleibt? $\begin{eqnarray} (z_{n} ) n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist konvergent wenn Re $\begin{eqnarray} (z_{n} ) n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und Im $\begin{eqnarray} (z_{n} ) n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ konvergent sind. Ist $\begin{eqnarray} (z_{n} ) n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ konvergent muss also gelten $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} z_{n} = \lim_{n \to \infty} Re (z_{n} ) - i \lim_{n \to \infty} Im (z_{n} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|a\|,\|b\|\leq \|a-ib\| = \sqrt{a²-b²}\leq \|a\|+\|b\| \end{eqnarray*}$ Stimmt der Ansatz so? Edit (mY+): LaTeX berichtigt. \to unendlich = \to \infty
10.12.2011, 15:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. ____ Übrigens schreibst du epsilon in LaTeX: \epsilon mY+
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10.12.2011, 15:15	Ilona889	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, mein Problem liegt jetzt im nächsten Teil des Beweises. Ich weiß nicht, wie es nun weiter geht :-( Könnte mir dabei jemand helfen?
11.12.2011, 10:46	Ilona889	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir bitte jemand sagen, ob ich auf dem richtigen Weg bin und wie ich weiter vorgehen muss??
11.12.2011, 10:51	gb	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja selber schon geschrieben: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to unendlich} z_{n} = \lim_{n \to unendlich} Re(z_{n}) + i \lim_{n \to unendlich} Im (z_{n} ) \end{eqnarray}$ Bei der konjugiert Komplexen Zahl ist doch nur ein MINUS an geeigneter Stelle zu verwenden... Hilft das?
11.12.2011, 11:05	Ilona889	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja den Ansatz habe ich ja oben schon mal hingeschrieben von der konjugiert komplexen zahl. Nur ich weiß nicht wie es weiter geht, also bezüglich dem größer gleich also den ganzen relationen? blieben die dann wie bei z gleich oder was ändert sich da?
11.12.2011, 11:13	gb	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn der Re(z) und der Im(z) jeder für sich einen Grenzwert hat (z.B. a und b), welchen Grenzwert hat dann Re(z) - Im(z) ?
11.12.2011, 11:20	Ilona889	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann lim a - lim b? (grob geschrieben)
11.12.2011, 21:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es. Das MINUS teilt sich sozusagen dem Grenzwert mit. Hat dieser Grenzwert vorher existiert, gibt's diesen auch hier, lediglich mit umgekehrtem Vorzeichen. mY+

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