Stabilität Algorithmen

Neue Frage »

loyloep Auf diesen Beitrag antworten »
Stabilität Algorithmen
Finden Sie eine geeignete Umformung für die untenstehenden Ausdrücke, so dass die Auswertung möglichst stabil ist (x > 0). Begründen Sie Ihre Vorgehensweise.

a)

b)

c)

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stabilität Algorithmen
Zunächst solltest du dich fragen, warum diese Ausdrücke "instabil" sind. Was für Probleme können denn auftreten?

Das ist der Schlüssel dazu, was man zu beseitigen hat.

(a) Was ist der trig. Pythagoras? Wie lauten die binomischen Formeln?
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Problematisch in den drei Fällen ist die subtraktive Ausschlöschung.


Für a) habe ich nun unter Andwendung Deiner Tipps: .

Was kan man bei b) und c) machen, um die Subtraktionen zu verhindern?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bei (a) ist auch x=1 problematisch. Denn es wird nur gefordert x>0! Nun kann man gefahrlos alle x>0 einsetzen.

So, nun denkst du bei den anderen Aufgaben aber erst mal selbst nach, was da gehen könnte, um das anders aufzuschreiben. Denn das ist ja die eigentliche Aufgabe.

Würde mir z.B. bei der (c) mal den binomischen Lehrsatz anschauen.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

b) habe ich wie folgt umgeformt:
Damit ist das Problem der subtraktiven Auslöschung für x>0 verschwunden.


Für c) erhalte ich unter Anwendung des binomischen Lehrsatzes Lässt sich dieser Ausdruck noch weiter umformen,damit das Minus verschwindet?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht dann im Grunde
 
 
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Das einzige, was mir dazu einfällt ist: . Angewendet auf c) also:
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht noch ein wenig mehr. Siehe (a).
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Mmmh, mit Hilfe der binomischen Formeln kann man noch weiterunmformen

. Für c) also .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Was haben wir nun gewonnen? Das ist noch offen.

Für welche Zahlen trat bei dem ersten Ausdruck eine Auslöschung ein? Ist das nun besser?
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Im umgeformten Ausdruck finden noch immer eine Auslöschung statt, wenn x = (1-b)/a. Für den ursprünglichen Ausdruck ist das schwer zu sagen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ist ja klar, dass sich bei wirklicher Gleichheit die Sache aufhebt. Auslöschung bedeutet, dass die Werte theoretisch verschieden sind, im PC aber gleich und sich wegheben. Also numerisch gleich sind.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht darauf gekommen, weshalb in c) der umgeformte Ausdruck besser ist als der ursprüngliche Ausdruck. Was wurde gewonnen durch die Umformung? Der Minus-Ausdruck ist ja noch immer enthalten.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mir würde hier nur einfallen, dass man bei dem Produkt für große Radikanten Zahlen multipliziert, die ungefähr gleich groß sind, während man bei der Differenz "unterschiedlich große Zahlen subtrahiert und die kleine da unter den Tisch fallen kann.

Ein aussagekräftiges Beispiel konnte ich in matlab leider nicht generieren.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »