lineare Abbildungen

10.12.2011, 13:21	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildungen Meine Frage: Es seien $\begin{eqnarray} l_{1}, l_{2}, ..., l_{n} : \mathbb R^{m} \to \mathbb R \end{eqnarray}$ lineare Abbildungen mit $\begin{eqnarray} l_{1}(x) l_{2}(x) ... l_{n}(x) = 0 (wobei.x\in \mathbb R^{m)} ) \end{eqnarray}$ Zu zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray} i (1\leq i\leq n) \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} l_{i}(x) =0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R^{m} \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Leider leider noch keine... vielleicht nach einer kleinen Hilfe kommen sie alle (:
11.12.2011, 10:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch so völlig selbstverständlich, dass man gar nichts dazu sagen kann, wenn du es nicht sehen willst. Trotzdem zwei Tipps 1. Anstelle von "ora et labora" empfehle ich dir "denke und arbeite" 2. Wann genau ist das Produkt reeller Zahlen gleich 0 ?
12.12.2011, 21:00	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn eine der zahlen 0 ist. aber wie hilft das mir weiter? es sollen ja alles lineare Abbildungen sein...
04.01.2012, 08:25	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mir noch mal Gedanken gemacht: Vorraussetzung: $\begin{eqnarray} l_{1} ,l_{2} ,...,l_{n}:\mathbb R^{n} ->\mathbb R \end{eqnarray}$ lineare Abbildungen mit $\begin{eqnarray} l_{1}(x) l_{2}(x) ...l_{n}(x)=0 [latex] [latex]Schnittmenge:x\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} \exists i \in {1, ..., n}:l_{i} \equiv 0 \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} l_{i}(x)=0 [latex] [latex]Schnittmege:x\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ Beweis: Angeneommen es existiert kein solches i, dann zeige ich (per Induktion) $\begin{eqnarray} \exists x\in \mathbb R^{n} :l_{1}(x)... l_{n}(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ , was dann zum Wiederspruch führt. Sei $\begin{eqnarray} 1\leq k\leq n \end{eqnarray}$ IA: k=1, d.h. $\begin{eqnarray} l_{1} \equiv 0 \Rightarrow \exists x\in \mathbb R^{n} : l_{1}(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ , was stimmt IV: Sei $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N_{<n} \end{eqnarray}$ dass $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ fest, sodass gilt: $\begin{eqnarray} \exists x\in \mathbb R^{n} :l_{1}(x)... l_{n}(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ IS: $\begin{eqnarray} k->k+1 \end{eqnarray}$ NIV $\begin{eqnarray} \exists x\in \mathbb R^{n} :l_{1}(x)... l_{n}(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ Jetzt zeige ich: $\begin{eqnarray} l_{1}(y)... l_{n}(y)\neq 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ 1. Fall: $\begin{eqnarray} l_{k+1}(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ , was wieder stimmt 2. Fall: $\begin{eqnarray} l_{k+1}(x) =0 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} y\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} l_{k+1}(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R/{0} \end{eqnarray}$ und ich betrachte den Vektor $\begin{eqnarray} (x+a\times y) \end{eqnarray}$ Schnittmenge j mit $\begin{eqnarray} 1\leq j\leq k \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} l_{j} (x+ay)=l_{j}(x)+a l_{j}(y) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} l_{j}(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ (nach IV) Dann gibt es wieder zwei Fälle... Und genau da ist mein Haken: Ich komme nicht auf die beiden Fälle - und irgendwie habe ich das Gefühl, dass das noch oft so weiter geht. ... Bitte um Hilfe und vllt auch neue Einstellungen im neuen Jahr (Elvis)... Vielen Dank und ein schönes spannendes mathematisches Jahr!
04.01.2012, 13:00	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hab mir da mal Gedanken drüber gemacht und einen anderen Ansatz als du gewählt. Die Linearform kann ja nur den Rang 1 oder den Rang 0 haben. Rang 0 ist genau die Nullabbildung. Dann habe ich angenommen, dass alle den Rang 1 haben und es auf einen Widerspruch geführt. Vielleicht hilft dir ja diese Idee weiter.

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