Normierter Raum

10.12.2011, 15:13

Loredana

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Normierter Raum

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} (a_{n} ) n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine in (E, $\begin{eqnarray*} ||\cdot|| \end{eqnarray*}$ ) gegen $\begin{eqnarray*} a_{0} \in E \end{eqnarray*}$ konvregente Folge. Nun soll gezeigt werden dass (||a_n||) $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gegen ||a_0|| konvergiert.

Meine Ideen:
Kann mir bitte jemand zeigen wie das geht? Ich verzweifle an dieser Aufgabe!

10.12.2011, 16:01

weisbrot

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RE: Normierter Raum
hallo!
hast du denn die definition für konvergenz in metrischen bzw. normierten räumen parat? wenn du die sog. umgekehrte dreiecksungleichung benutzt (benutzen darfst) zeigt sich das ganze von selbst. lg

10.12.2011, 16:17

Loredana

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EIne Folge $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ in einem metrischen Raum M heißt konvergent gegen x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M, wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to unendlich} d(x_{n} ,x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Das Element x heißt Grenzwert der Folge und ist eindeutig. Strebt (x_n) gegen x und gegen y so gilt

d(x,y) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ d(x_n,x) + d(x_n,y)

für alle n und da

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to unendlich} d(x_{n} ,x) = \lim_{n \to unendlich} d(x_{n} ,y) = 0 \end{eqnarray*}$ ist muss auch d(x,y) = 0 und damit ist x=y gelten.

umgekehrte Dreiecksungleichung lässt sich so beweisen:

Für alle x,y element E gilt:

| ||x|| - ||y|| | $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ||x-y||

Nullergänzung und Dreiecksungleichung liefern

||x|| = ||x-y+y|| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ||x+y|| + ||y||,

damit ||x|| -||y|| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ||x-y||

und durch Vertauschung von x und y
||y|| + ||x|| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ||y-x||

Stimmt das so? und wie kann ich das jetzt auf meine AUfgabe "übertragen"?

10.12.2011, 16:24

weisbrot

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naja also was bedeutet denn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} d(x_{n} ,x) = 0 \end{eqnarray*}$

?

10.12.2011, 16:30

Loredana

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Das bedeutet doch das der Grenzwert einer Metrik gleich 0 ist ?

10.12.2011, 16:35

weisbrot

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ja so spricht man das aus, aber wie ist es definiert?

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10.12.2011, 16:38

Loredana

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Ich weiß jetzt nicht genau ob du das hier meinst, und zwar das dies äquivalent zu x_n = x dann ist?

10.12.2011, 16:50

weisbrot

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mh, nein. ich meine: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} d(x_{n} ,x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist definiert durch: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \quad \exists N_{\epsilon}\in \mathbb N :\quad d(x,x_n)<\epsilon\quad \forall n\geq N_{\epsilon} \end{eqnarray*}$

10.12.2011, 16:52

Loredana

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Wie muss ich denn dann weiter vorgehen? Sorry aber ich habe mit der Aufgabe ein Problem und verzweifle daran traurig

traurig

Könntest du mir nen Ansatz geben wie ich das mathematisch korrekt beweise ?

10.12.2011, 16:54

weisbrot

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also verstehst du was da steht? ist im prinzip nichts anderes als die definition aus ana1, nur für allgemeine metrische räume.

10.12.2011, 16:55

Loredana

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Ja die Definition verstehe ich. Nur ich weiß nun nicht wie ich weiter machen muss um zu beweisen dass (||x_n||) gegen ||x_0|| konvergiert.

10.12.2011, 17:01

weisbrot

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gar kein ansatz?
nunja du weist ja dass jede norm eine metrik induziert mit ||x-y||=d(x,y). also ist dein normierter raum auch ein metrischer raum und du kannst diese definition anwenden. schreib doch mal auf was es bedeutet, dass ||a_n|| gegen ||a_0|| konvergiert und benutze (unter zuhilfenahme der umg. DU) die voraussetzung, dass a_n gegen a_0 konvergiert und schon bist du am ziel

10.12.2011, 17:06

Loredana

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Das klingt für mich logisch, nur mein Problem ist es, das zu beweisen! Könntest du mir mal zeigen, wie ich das mathematisch korrekt beweise? Ich tu mich bei der Aufgabe echt schwer. Die umgekehrte Dreiecksungleichung hab ich ja noch hingekriegt aber bei dieser Aufgabe tu ich mich echt schwer. unglücklich

unglücklich

10.12.2011, 17:12

weisbrot

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das willst du beweisen:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \quad \exists N_{\epsilon}\in \mathbb N :\quad || ||a_n|| - ||a_0|| ||<\epsilon\quad \forall n\geq N_{\epsilon} \end{eqnarray*}$

du hast || ||x|| - ||y|| || <= || x - y ||

und die voraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \quad \exists N_{\epsilon}\in \mathbb N :\quad || a_n - a_0 ||<\epsilon\quad \forall n\geq N_{\epsilon} \end{eqnarray*}$

klar was zu tun ist, oder nicht?

10.12.2011, 17:35

Loredana

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||a_n||-||a_0|| <= ||a_n - a_0||

||a_n|| = ||a_n - a_0 + a_0 || <= || a_n - a_0|| + ||a_0||, damit ||a_n|| - ||a_0|| < = ||a_n - a_0|| und ||a_0|| - ||a_n || <= ||a_0 - a_n||

Stimmt das so?

10.12.2011, 17:38

weisbrot

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die umg. DU brauchst du doch jetzt nicht nochmal zu beweisen, du brauchst sie nur anzuwenden um eben zu zeigen, dass deine folge konvergiert. les nochmal meinen vorherigen post durch

10.12.2011, 17:41

Loredana

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Sorry aber ich verstehe nicht wie ich das machen soll unglücklich

unglücklich

10.12.2011, 17:57

weisbrot

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na du willst zeigen, dass auch so ein N existiert, sodass || ||a_n|| - ||a_0|| || < epsilon für alle n>=N. dafür kannst du genau das N von a_n (wo du schon weist, dass es existiert, weil a_n ja konvergent ist) nehmen. dann gilt ja:
|| ||a_n|| - ||a_0|| || <= || a_n - a_0 || < epsilon für alle n >= N
also ist somit auch ||a_n|| gegen ||a_0|| konvergent

10.12.2011, 18:00

Loredana

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Ist das dann schon der ganze Beweis?
Danke für deine Hilfe!! Gott

Gott

10.12.2011, 18:03

weisbrot

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du musst halt für jedes epsilon ein derartiges N finden, und da du das so schön abschätzen kannst nimmst du dafür einfach das gleiche wie von a_n (grob gesagt) und hast die konvergenz von ||a_n||. wenn dus auch verstanden hast ists ja gut Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.12.2011, 18:08

Ungewiss

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Was für eine Geduld geschockt

geschockt

10.12.2011, 18:08

Loredana

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Also reicht es dann wenn ich erst eine Def. vom metrischen Raum und die umgekehrte Dreiecksgleichung hinschreibe und dann das was zu beweisen ist sowie die Voraussetzung und dann das was du gerade gepostet hast? Bin mir bei solchen Beweisen immer so unsicher

10.12.2011, 18:20

weisbrot

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@ungewiss: jaja Augenzwinkern

Augenzwinkern

@loredana: was soll ich dir dazu noch sagen.. du musst es halt konsistent beweisen. würdest dus mir beweisen wollen würde mir reichen du sagst es folgt direkt mit der umg. DU, deinem prof reicht das wahrscheinlich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

im prinzip sagst du einfach nur: für alle epsilon existiert ein N sodass

Zitat:

|| ||a_n|| - ||a_0|| || <= || a_n - a_0 || < epsilon für alle n >= N

hierbei gilt die erste abschätzung wegen der umg. DU und die zweite wegen der konvergenz von a_n. somit wäre dann die konvergenz von ||a_n|| gegen ||a_0|| gezeigt

10.12.2011, 18:36

Loredana

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Danke für deine Hilfe! Freude

Freude

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