Menge in komplexer Ebene

10.12.2011, 15:38	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge in komplexer Ebene hi, ich habe folgende aufgabe zu lösen: es soll die menge bestimmt werden: die menge M:= bild des einheitskreises unter der abbildung f: C -> C, f(z) = $\begin{eqnarray} \frac{z}{\| z \|+3 } \end{eqnarray}$ leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich an die aufgabe ran gehen soll. ich weiß nur, dass der einheitskreis die gleichung: $\begin{eqnarray} \|z-z_{0} \| =1 \end{eqnarray}$ ist, also $\begin{eqnarray} \|z \| =1 \end{eqnarray}$ hat. kann mir jemand helfen?
10.12.2011, 18:36	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
kennt sich damit niemand aus?
10.12.2011, 19:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann setze doch \|z\| = 1 in die Abbildungsgleichung ein! mY+
10.12.2011, 20:56	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine antwort. $\begin{eqnarray} 1=\frac{x+yi}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4=x+yi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} yi= 4-x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\frac{4-x}{i} \end{eqnarray}$ meinst du etwa so? wenn ja, was sagt mir das ergebnis? dass die lösung alle komplexen zahlen sind mit imaginärteil $\begin{eqnarray} \frac{4-x}{i} \end{eqnarray}$ ?
10.12.2011, 21:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so meine ich es nicht, auch wenn es formal richtig ist. Es ist viel einfacher. Nach dem Einsetzen kommt doch $\begin{eqnarray} f(z) = \frac z 4 \end{eqnarray}$ Das heisst mit anderen Worten, jede komplexe Zahl wird auf 1/4 ihrer Länge abgebildet. Wo liegen dann alle Spitzen ihrer Zeiger? mY+
10.12.2011, 21:28	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
bezieht sich das nun auf jede komplexe zahl auf dem einheitskreis? wenn ja, dann wäre dies ja $\begin{eqnarray} z=\| z_{0}-\frac{z}{4} \| \end{eqnarray}$
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10.12.2011, 21:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wieso diese Formel? z ist doch hier nicht der Betrag einer anderen komplexen Zahl. Und ja, es betrifft natürlich alle Zahlen bezüglich des Einheitskreises. Es ist - wie gesagt - noch einfacher: Durch die Abbildung ensteht aus jeder komplexen Zahl, deren Spitze auf dem Einheitskreis liegt, eine neue komplexe Zahl, welche ein Viertel der ursprünglichen beträgt. Wo liegen alle deren Spitzen? mY+ () Kennzeichen: Richtung und Orientierung bleiben gleich, die Länge ist 1/4 der ursprünglichen Länge
10.12.2011, 22:19	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
auf einem kreis um den ursprung mit radius 1/4?
10.12.2011, 22:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar! mY+
11.12.2011, 12:31	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
super. danke! und wie stelle ich die lösung dann als menge dar? mas muss doch dann sowas ähnliches wie die kreisgleichung sein... M= { $\begin{eqnarray} \| z-z_{0} \| = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ } vll so?
11.12.2011, 21:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist bei dir $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ ? Falls du damit den Nullpunkt (Mittelpunkt) meinst, ist z0 einfach gleich 0. Somit lautet die Kreisgleichung $\begin{eqnarray} \|z\| = \frac 1 4 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} z^2 = \frac 1 {16} \ \ [ \ \text{Koordinatenform:} \ x^2 + y^2 = \frac 1 {16} \ ] \end{eqnarray}$ mY+
14.12.2011, 19:08	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
danke!

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