Geordnete Basis?

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liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »
Geordnete Basis?
Hallo liebe Mathefreunde smile

ich bin kurz vorm verzweifeln an der folgenden Aufgabe traurig
Es sei der Vektorraum vom Grade mit reelen Koeffizienten.
Gegeben seien weiter die Polynome:




Zeigen sie dass eine geordnete Basis von V ist.

Ansatz:
Aus dem Basisergänzungssatz ergibt sich das sich jede lineare Unhabhängige Menge zu einer Basis ergänzen lässt.
D.h ich überprüfe ob die Polynome lin. unabh sind, dann habe ich gezeigt das sie eine Basis sind.

Meine Frage: . Aber wie zeige ich nun das C eine geordnete Basis ist???

Das wäre echt super lieb von euch , wenn jemand mir helfen könnte!
lg
eure liebe_Maus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geordnete Basis???
Was möchtest du mit dem Ergänzungssatz? verwirrt

Welche Dimension hat der Vektorraum? Wie viele linear unabhängige Vektoren braucht man für eine Basis?

Soll die Ordnung nicht eher durch die Indizes gegeben sein? Siehe auch hier
http://www.matheboard.de/archive/398328/thread.html
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine schnelle Antwort!
In meinem Skript ssteht zur Dimension eines Polynoms:
Das heißt das Polynom hat die Dimension 4.
Das heißt weil das Polynom die Dimension 4 hat benötigen wir 4 lin. unabhängige Vektoren.
Das heißt wenn ich zeige das diese 4 Polynome lin. unabh. sind, dann habe ich gezeigt das das p1 bis p4 Basisvektoren sind und somit eine Basis sit.
Muss ich jetzt gemäß deines Linkes, was du mir als Hilfestellung gegeben hast, alle Möglichkeiten einer Anordung duchgehen, damit ich zeige das es eine geordnete Basis ist?

lg
liebe_Maus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Ordnung ist schon durch den Index vorgegeben. Der Link sollte nur aufzeigen, wo man so eine Ordnung anwendet.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sehe ich auch vor lauter Bäume den Wald nicht mehr.

Wenn ich nun gezeigt habe das sie lin. unabh. sind, habe ich damit gezeigt das C eine Basis ist . Wie geht es aber nun weiter, damit ich zeige das sie auch eine geordnete Basis ist .
Also wie zeige ich, wenn ich gezeigt habe das es eine Basis ist, das sie auch geordnet ist?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Für eine geordnete Basis musst du nur die Reihenfolge der Basisvektoren festlegen. Warum dazu nicht den vorgelieferten Index nehmen?
 
 
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Ok , ich führe es mal aus und melde mich dann nach ca. 15 min wieder.

Ich hoffe das du ungefähr so lange warten kannst?!

lg
liebe_Maus
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal kurz auf lin. unabh. durch Koeffiezientvergleich nachgeprüft und hab folgendes Gleichungssysten erhalten:





Was mich irriteriert ist:
.

Daraus folgt ja lineare Abhängigkeit.
Wo liegt mein Denkfehler?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Woher soll ich wissen, ob den LGS überhaupt stimmt?

Zitat:






Hatte ich mir nun in Monomkoordinaten geschrieben und dann den Rang der Matrix bestimmt.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
A=[0,1,0,0; 0,1,0.5,0; 0,1,-4,-1;1,0,0,0]
A =
         0    1.0000         0         0
         0    1.0000    0.5000         0
         0    1.0000   -4.0000   -1.0000
    1.0000         0         0         0
>> rank(A)
ans =
     4
>> 
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Heyy danke dir dafür, aber leider haben wir noch nicht den Rang eingeführt, was wir wahscheinlich bald machen werden. Glaube auch das du dich in der 1. Zeile verschrieben hast.

Habe ich dein Ansatz aber richtig verstanden, das du die Koordinatenvektoren der Menome für die Untersuchung der lin. unabh. genutzt hast. Kannst du mir diesen Ansatz etwas näher erläutern, das ich ihn sehr Interessant finde!

lg
liebe_Maus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Monome.

Zitat:






Ich drücke p1 bis p4 als LK von der Monombasis x³,x²,x,1 aus, die ich eben so angeordnet habe. Daher



Die schreibe ich nun als Zeilen (könnte aber auch Spalten sein) in eine Matrix und bestimme deren (Zeilenrang). Ist der maximal, hier also 4, sind die Zeilenvektoren lu.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das auch anhand eines ganz normales Gleichungssystem lösen, da wir noch eine Mazrizen eingeführt haben.
Also:


Apropos, hab mich kurz verschrieben. Die erste Gleihung sollte eigentlich lauten:
Leider merkt man immer soetwas zu spät unglücklich
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Falls das so geht, so ergibt sich ja inmittelbar aus der letzten Zeile die lin. Abh und das sind wir zu meinem Denkfehler zurück, da ja daraus keine Basis gefolgert werden kann???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
A=[0,1,0,1; 0,1,0.5,0; 0,1,-4,-1;1,0,0,0]
A =
         0    1.0000         0    1.0000
         0    1.0000    0.5000         0
         0    1.0000   -4.0000   -1.0000
    1.0000         0         0         0
>> rank(A)
ans =
     4


Warum sollte aus deiner letzten Zeile la folgen?
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte mir wegen:



und das führt ja dazu das dann sind

oder hat sich bei mir ein Denkfehler eingeschleicht?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dein ungleich 0 verstehe ich nicht.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

In der Vorlesung haben wir definiert, wenn wir auf lin. unabh. nachprüfen, so zeigt man das wenn nur der Nullvektor durch erzeugt wird, wobei die Skalare der Linearkombination ist.



D.h aber wenn für unseres jetziges Problem gilt
da und ist, kann meines erachten doch keine lin. Unabh folgen. Ich weiß auch das mein Argument nicht so stimmen kann, aber mein denkfehler finde ich auch leider gerade nicht!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte wie du auf diese Folgerung kommst.

Zitat:
Original von liebe_Maus



Zeile 1:


Zeile 4:



Zitat:




Führt auf




Da sehe ich nur
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

ahhhhhhhhhh,
D,h du hast dann schließlich aus gefolgert das damit kein Widersprüche erzeugt wird.

D.h damit ist die lin. unabh. gezeigt. Daraus folgt dann das eine Basis ist.
Kann ich damit auch sagen das es nun C geordnete Basis ist, wenn ich den vorgeben Indizen der Polynome übernehme?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, danke für deine unglaubliche Geduld und Hilfsbereitschaft Freude
Das war für mich ein echtes Vergnügen mit dir über diese Aufgabe zu diskutieren. Auf jedenfall habe ich heute sehr sehr viel mitgenommen.

Ich hätte da eine letzte Frage und zwar wenn ich die Koordinaten des Polynoms x bezgl. der geordneten Basis berechnen will, wie gehe ich dann hier voran?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »






Dann ist ja gefragt, wie man x als LK dieser Basispolynome dartstellen kann.





=> Klammern auflösen => Koeffizientenvergleich.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

D.h dann das mein x am ende folgendermaßen aussehen sollte , wobei dann a,b,c,d meine Koordinaten dann wären?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Koordinaten bzgl. p1...p4., ja.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir da nicht so sicher ob der Koefizientenvegleich so richtig wäre, aber würde in diesem Beispiel dann folgendermaßen lauten:



Wenn ich den Koeffiezentenvergleich für die lin. unabh. nutzte, mussen ja meine Koeffiezienten dann 0 sein. Wie mache ich das aber in so einem Fall?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Koeffizienten hat das gewünschte x denn?
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir mal das heißt es dann das mein der Koeffiezientenvergleich folgenderaßen aussehen wird:
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Deine griechische Darstellung wären die Koordinaten in Monombasis. So, die kennst du aber konkreter.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du etwa:
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das können ja nur reelle Zahlen sein. Es springt einen doch direkt an, wenn du nur mal links und rechts vergleichst.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh,
ok ich hoffe ich habe es richtig verstanden. Wir erhalten dann durch den Koeffizientenvergleich :



und dieses lösen so auf das wir für die griech. Buchstaben konkrete Werte erhalten und diese wären dann unsere Koordinaten.
D.h schon mal das unser wäre
Hoffe mal das das so richtig wäre?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, was ist denn x als Koordinatenvektor der Monombasis. Das will ich wissen.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Können wir bitte einen Schritt zurück gehen.

Den Koordinatenvektor wollen wir ja gerade ermittlen, damit wird hiervon auf die Koordinaten schließen können. Was wäre den in meiner Darstellung nicht richtig gewesen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du blähst es auf, weil du die Monomdarstellung nicht erkennst. Die alphas und Co sind unnötig, weil man ihre Konkreten Zahlenwerte kennt.

Das ist der Ansatz.



Sortiere nach Potenzen und mache mit der linken Seite einen Koeffizientenvergleich.



So, nun vergleiche die beiden Seiten...
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sehe ich auch vor lauter Bäume den wald nicht mehr.
Ich sotiere die folgende Darstellung
um und erhalte .
Nun soll ich beide mit einander vergleichen?:
Also:

Das einzige was ich dann miteinander vergelichen kann, wäre dann , wobei dann d beliebig sein kann.
Ich bin mir nicht so sicher, aber vielleicht tue ich mich einfach nur schwer damit, obwohl das ziemlich einfach ist Forum Kloppe
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Potenzen von x stehen links? Welche Koeffizienten sind also alle 0?
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Potenzen von x stehen links?

Alle die auch in der rechten Seite stehen, also:

Welche Koeffizienten sind also alle 0?
Damit Gleichheit gilt müssen a=b=c=0 sein, sodass ist.

D.h das wenn ich mich da richtig eingefunden habe das ist und beliebig
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich raff nicht, was du nicht raffst.



Linkst steht nur x^1, also



Also

d=0

a=b

c=-2a

0.5b+4c=1

Macht nun also was?
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam leuchtet mir das ganze Konzept ein!
Ich schreibe nochmal alles ganz nachvollziehbar was wir gemacht haben und warum wir das so gemacht haben:

Wir wollen die Koordinaten des Polynoms x bezüglich der geordneten Basis C bestimmen.
Damit wir auf die Koordinaten des Polynoms x herankommen, also es bestimmen können, schreiben wir das Polynoms bezüglich der geordneten Basis C als Monomdarstellung:

, wobei unsere Koordinaten sind, die wir dann anschließend ermitteln.
Sehr wichtig ist im Hintergrund zu behalten das die alle Monome sind. Also das sowohl das in ein Monom ist als auch die Monome aus eine Monomdarstellung von x sind und man die Monome damit nicht separat sehen darf, weil das Monom das selbe ist wie die das Monom in nur mit einer unterschiedlichen Potenz.
Weiterhin ist wichtig zu wissen das unser gleichzeitig ein Monom als auch ein Polynom bzw. eine Monomdarstellung ist, weil ja

Anschließend überlegen wir uns, wie wir ermitteln können und erkennen das der Koeffizientenvergleich ein gutes Instrument dafür ist. Damit wir den Koeffizientenvergleich anwenden können, ordnen wir unser Polynom um, sodass wir stehen haben:

.
Das dürfen wir ja auch weil eine geordnete Basis von ist.
Anschließend vergleichen wir die Koeffizineten derart, sodass wir das Monom aus durch die Monomdarstellung aus darstellen können.
Der Koeffizientenvergleich sieht dann folgendermaßen aus:

Anschließend stellen wir unser LGS auf, um unsere Koeffizienten, die unsere Koordinaten sind, zu bestimmen:

Lösen wir das LGS auf so erhalten wir:

Also ist unser Koordinatenvektor . Die Skalare sind dann unsere Koordinaten vom Polynom x (bzgl. der geordneten Basis )

Ich denke mal wenn ich das so richtig verstanden habe, so hat sich der ganze Aufwand gelohnt.
Und nochmal 1000 Dankeschön für deine erstklassige Hilfe Mit Zunge
lg
liebe_Maus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein Vektor des Vektorraums der Polynome vom Maximalgrad 3. Von diesem Vektorraum kennen wir (bereits) 2 Basen

* Unsere Basis aus p1, p2, p3, p4
* Die Monombasis x³,x²,x,1

Bezüglich welcher Basis können wir sofort den Koordinatenvektor für x angeben? Klar, die Monombasis.



So, gefragt waren aber die Koordinaten in der Basis p1,..,p4. Die Koordinaten sind die Linearfaktoren aus der Linearkombination. Also, wie kann man x als Linearkombination von p1 bis p4 schreiben. Ansatz:



Wie löst man das nun am einfachsten? Die Vektoren sind hier ja Polynome. Also bemühen wir einen Koeffizientenvergleich.



Logischerweise entsprechen diese Koeffzienten (unter den Klammern) den Koordinaten von x in der Monombasis. Dort wurde ja im Grunde auch nach "Potenzen sortiert". Es ergibt sich sofort:

d=0
a+b+c=0
0.5b+4c=1
a-b=0

Das muss nun gelöst werden. Kann man in ein LGS schreiben, hier löst es sich auch "direkter".

b=a
c=-2a

0.5a-8a=1 <=> -7.5a = 1 <=>

Da bitte deine Rechnung nochmal prüfen, oder ob ich einen Tippfehler habe (Fussball lenkt ab Big Laugh )
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