Folgenkonvergenz

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10.12.2011, 16:27	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkonvergenz Tagchen, ich sitze gerade an vier Folgen, von denen ich jeweils den Grenzwert berechnen soll. Wenn ichfür n 10 Mio einsetzte, sehe ich schon, was wohl so ungefähr der Grenzwert werden soll. Mir fehlt es nur an der Fähigkeit dies zu beweisen. Hier erstmal die Folgen : n geht immer gegen unendlich $\begin{eqnarray} a_n := ( 1 - \frac{1}{n} )^n \end{eqnarray}$ Vermuteter Grenzwert : $\begin{eqnarray} a = \frac{1}{e} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n := ( 1 - \frac{1}{2n} )^n \end{eqnarray}$ Vermuteter Grenzwert : $\begin{eqnarray} b = \frac{1}{\sqrt{e} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_n := ( \frac{n+2}{n+1} )^n \end{eqnarray}$ Vermuteter Grenzwert : $\begin{eqnarray} c = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_n := ( \frac{2n-1}{2n+1} )^n \end{eqnarray}$ Vermuteter Grenzwert : $\begin{eqnarray} d = \frac{1}{e} \end{eqnarray}$ Meine bisherigen Lösungsansätze: Also zunächst mal zu c, den da bin ich mir mit meiner Lösung relativ sicher. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } ( \frac{n+2}{n+1} )^n = \lim_{n \to \infty } ( \frac{1 + \frac{2}{n} }{1 + \frac{1}{n} } )^n = \lim_{n \to \infty } \frac{(1 + \frac{2}{n} )^n } {(1 + \frac{1}{n})^n } = \frac{e^2}{e^1} = e \end{eqnarray}$ So ansonsten habe ich eigentlich zu keiner Folge einen vollständingen Beweis. Bei a zum Beispiel: Ich habe mir da folgendes gedacht: $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n} \end{eqnarray}$ Nun versuche ich mir irgendwie das 1/e herzuleiten. Das würde ja wie folgt lauten : $\begin{eqnarray} \frac{1}{e} = \lim_{n \to \infty } ( \frac{1}{1 + \frac{1}{n} } )^n \end{eqnarray}$ Nun ist ja : $\begin{eqnarray} \frac{1}{1 + \frac{1}{n} } = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray}$ Wenn ich die beiden Terme vergleiche, komme ich auf folgendes : ( erschlagt mich nicht für das Gleichheitszeichen, ich will ja nr irgendwie vergleichen ) $\begin{eqnarray} \frac{n-1}{n} = \frac{n}{n+1} <==> (n-1)(n+1) = n^2 <==> n^2 - 1 = n^2 \end{eqnarray}$ Im Unendlichen also habe diese beide Terme den selben Grenzwert. Somit würde ich dazu kommen zu schreiben : $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } ( 1 - \frac{1}{n} )^n = \lim_{n \to \infty } ( \frac{1}{1 + \frac{1}{n} } )^n = \frac{1}{e} \end{eqnarray}$ Bevor ich mit b und d weitermache, könnte ja jemand eine kleine ückmeldung geben. ^^
10.12.2011, 16:46	gb	Auf diesen Beitrag antworten »
Bsp a) Anstatt den lim (a) zu berechnen, kann man den lim(ln(a)) berechnen, am Ende das Erbnis zurückrechnen. ln(lim(a)) = lim(ln(a)) = lim( ln (1-1/n)^n ) = lim( n.ln(1-1/n) ) Dieser lim hat die Form "UNENDLICH mal NULL", kann also durch einen Doppelbruch auf "NULL durch NULL" gebracht werden, und ist damit ein Fall für l'Hospital. Doppelbruch: lim( ln(1-1/n) / (1/n) ) = l'Hospital: lim ( [ 1/(1-1/n) .(1/n²) ] / [-1/n²] ) = lim ( [ - 1/(1-1/n) ] = lim ( n / (1-n) ) = -1 Also ln(lim(a)) = -1 --> lim(a) = 1/e
10.12.2011, 16:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
gb, bitte beachte unser Boardprinzip! Das Posten von Lösungen ist nicht erwünscht, bitte beachte dies bei deinen weiteren Beiträgen! Desweiteren ist die Verwendung von L'Hospital hier problematisch und überdies auch nicht notwendig.
10.12.2011, 16:59	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
hospital kam zudem auch noch nicht vor Ich habe beid) dann übrigens das selbe Prinzip angewandt, wie in a. Nur dass man da halt nacher noch de zu vergleichenden Term mal 2/2 rechnet, um etwas besseres zum Vergleichen zu haben. Bei b bin ich aber bisher irgendwie total aufgeschmissen.
10.12.2011, 17:25	gb	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn l'Hospital noch nicht bekannt ist, ist die Frage, WAS dann schon bekannt ist? Offenbar weißt Du schon, dass lim(1+1/n)^n = e (für n-->unendlich) lim(1+a/n)^n = e^a (für n-->unendlich) Zumindest hast Du das verwendet. Oder nur geraten? Darf das also verwendet werden oder nicht?
10.12.2011, 17:52	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist natürlich nicht erraten. ^^ Die Übung ist in Präsenz- und Hausübungen eingeteilt. Die Folgendarstellung der Exponentialfunktion war Teil der Präsenzübung, ist also vorraussetzbar. ^^
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10.12.2011, 17:56	gb	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch die zweite Zeile? Also ... lim(1+a/n)^n = e^a (für n-->unendlich) ? Wenn ja, dann bräuchtest Du ja nur für a=-1 einsetzen. Wenn nein, dann kannst Du auch Deine Folgerung lim(1+2/n)^n = e² nicht verwenden :-/
10.12.2011, 21:15	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Komilitone meint vermutlich nicht. Mal schauen. :/
11.12.2011, 00:58	Hellsing91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Pfirsichtee. Folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} a_n := ( 1 - \frac{1}{n} )^n \end{eqnarray}$ Ich habe mal beliebig große Werte eigesetzt, und gesehen dass das ganze gegen 0 kovergiert. Erschlagt mich wenn ich falsch liege.
11.12.2011, 12:42	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Konvergenz erkennt man wie folgt : $\begin{eqnarray} ( 1 - \frac{1}{n} )^n = ( 1 + \frac{-1}{n} )^n \end{eqnarray}$ Das Ganze geht dann gegen $\begin{eqnarray} e^{-1} = \frac{1}{e} \end{eqnarray}$ Was heißt denn für dich beliebig große Werte? Ich habe 1 Mio und 10 Mio eingesetzt. Man Erkennt, dass da kaum noch ein Unterschied ist.
11.12.2011, 20:53	Hellsing91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte es mir halt vom Computer mal durchrechnen lassen. Aber 1/e stimmt exakt. Ich dachte nur das wir das nicht verwenden dürfen, da wir das noch nicht in der Vorlesung hatten.

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