Basisergänzungssatz Anwendung

10.12.2011, 17:19

OrangeneMusik

Basisergänzungssatz Anwendung

Meine Frage:
Man soll die zwei Familien von Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ zu Basen ergänzen:

(1)
$\begin{eqnarray*} a_{1}= (2,2,7,-1), a_{2}=(3,-1,2,4), a_{3} =(1,1,3,1) \end{eqnarray*}$

(2)
$\begin{eqnarray*} a_{1}= (2,3, -4, -1), a_{2}= (1, -2, 1,3) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als erstes habe ich geguckt, dass die linear unabhängig sind (keine Linearkombinationen untereinander) -
und ich weiß außerdem, dass bei der (1) noch ein Vektor fehlt und bei der (2) noch zwei. (Basisergänzungssatz)
Wie komme ich denn auf die Vektoren? Geht das durch Erzeugendesystheme?

10.12.2011, 18:19

Steffe2361

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RE: Basisergänzungssatz Anwendung
Aus wie viel Vektoren besteht den die Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$

mfg

10.12.2011, 18:34

OrangeneMusik

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na, mindestens doch aus 4, da $\begin{eqnarray*} dim\mathbb R^4=4 \end{eqnarray*}$ ist...
Und sobald es mehr halt als 4 ist es ja auf jeden fall linear unabhängig

10.12.2011, 18:41

Steffe2361

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Zitat:

Und sobald es mehr halt als 4 ist es ja auf jeden fall linear unabhängig

hier meinst du wohl linear abhängig...

was ist demnach dann die Standartbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ ?

wenn du weißt wie diese aussieht, schau die deine Matrix aus 1 an und forme mittels gauß um. Dann solltest du sehen was dir fehlt um auf die Basis zu ergänzen

mfg

10.12.2011, 20:01

OrangeneMusik

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Na, die Standartbasen sind ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und da die umgeformten Zeilenvektoren so aussieht: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
interessiert mich auch nur die letzte Standartbasis.

Aber was müsste ich jetzt machen um auf genau diese Matrix zu ergänzen?

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