Exponentialfunktion Faktor im Exponenten

10.12.2011, 17:22

Lk-Mathe

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Exponentialfunktion Faktor im Exponenten

Meine Frage:
Also wir haben erst einmal mit einer Aufgabe angefangen, die lautet:

Das radioaktive Isotop Cobalt-60 hat eine Halbwertszeit von t= 5,3 Jahren.
Nach wie vielen Jahren ist die Aktivität unter 5% der Anfangsaktivität abgesunken?
Die Aufgabe ist jetzt schon gelöst.

Er meinte, dass die allgeimeine Gleichung ja heißt:

y= $\begin{eqnarray*} y_{o} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} a^{x} \end{eqnarray*}$

Mein Lehrer meinte, dass man auch irgendwie sagen kann
$\begin{eqnarray*} a^{k*x} \end{eqnarray*}$ anstatt von a^x

Er meinte, dass wir einen Faktor finden sollen, dass z.B

5^x = 3^(c*x)

Ich habe jetzt wieder für
x=t=5,3
yo=Ao=100
und a soll 2 sein..

was steht dann auf der linken Seite der Gleichung? Also bei yo=Ao=?

Und dann muss ich doch ganz einfach nach c auflösen oder?

Meine Ideen:

10.12.2011, 17:54

chili_12

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Hi,

also ich kann jetzt nicht ganz nachvollziehen was genau du im unteren Drittel meinst. Aber ich glaube dir helfen die Potenzgesetze weiter.

Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} a^{b*c} = (a^b)^c \end{eqnarray*}$

Wenn du also zB $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 5^{a*x} \end{eqnarray*}$ ausdrücken möchtest muss gelten: $\begin{eqnarray*} 5^a = 3\hspace{4mm} \Rightarrow\hspace{4mm} a=\frac{log(3)}{log(5)} \end{eqnarray*}$

mfg

10.12.2011, 18:00

Christian_P

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So ungefähr:

$\begin{eqnarray*} y=y_0\cdot 2^{k\cdot t} \end{eqnarray*}$

Zuerst musst du den Stauchungs bzw. Streckungsfaktor k bestimmen, dieser Faktor ändert die Eigenschaften deiner Exponentialfunktion so, dass sie dem Problem ankepasst ist.

Für die Bestimmung von k musst du annehmen, dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Hälfte von $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ ist und dann t= 5,3 Jahre einsetzten und die Gleichung dann nach k umstellen.

Grüße

10.12.2011, 18:11

mYthos

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Es gibt zwei Möglichkeiten:

1)
e-Funktion (e als Basis)

Mittels der Angabe der Halbwertzeit muss erst einmal der Faktor k in

$\begin{eqnarray*} y = y_0 \cdot e^{-kx} \end{eqnarray*}$

ermittelt werden.
Danach wird x (in Jahren) bei y = 5 und y0 = 100 berechnet.

2)
Der Ansatz mit der Funktion

$\begin{eqnarray*} y = y_0 \cdot a^x \end{eqnarray*}$

In der Basis a ist sozusagen der Term $\begin{eqnarray*} e^{-k} \end{eqnarray*}$ schon inkludiert.
Hierbei wird - ebenfalls mittels der gegebenen Halbwertzeit - die Basis a berechnet und danach x bei 5% noch vorhandener Menge wie oben gezeigt ausgerechnet.

mY+

10.12.2011, 18:15

mYthos

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@Christian
Wir entfernen Beiträge normalerweise nur aus ganz speziellen Gründen, die bei dir aber nicht gegeben waren.
Im Übrigen ist dein Ansatz mit der Basis 2 zwar nicht sehr gebräuchlich, aber nicht falsch.

mY+

10.12.2011, 18:17

Christian_P

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nee

Augenzwinkern

ich meinte nur das blaue, ich hatte mich vertan und ausversehen meinen eigenen Beitrag nocheinmal zitiert.

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10.12.2011, 18:34

mYthos

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Ach so, dann ist das klar. Geschehen.

mY+

10.12.2011, 18:58

Lk-Mathe

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Tut mir leid, dass ich jetzt so spät zurückschreibe..

Muss also auf der linken Seite Ao= 5 stehen?
Bin gerade Anfängerin in dem Thema, darum verstehe ich jetzt nicht, was ihr mit e und so meint (könnte vllt die Euler´sche oder so Zahll sein, wo ich leider nicht, weiß, was das ist)

Die Basis a ist ja schon angegeben
a=2

Ich verstehe irgendwie nicht so, wie ich vorangehen muss..
Ich dachte, dass ich die gesamte Gleichung nach c umstellen muss.. Für x hätte ich dann einfach 5,3 angegeben..

Oder heißt c*x, dass das Produkt 5,3 ergibt?

c=k

10.12.2011, 19:13

mYthos

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Nachdem dir die Zahl e noch nicht bekannt ist, kommt für dich also die 2. Methode in Betracht.

Zitat:

Original von mYthos
...
Der Ansatz mit der Funktion

$\begin{eqnarray*} y = y_0 \cdot a^x \end{eqnarray*}$
...
Hierbei wird - ebenfalls mittels der gegebenen Halbwertzeit - die Basis a berechnet und danach x bei 5% noch vorhandener Menge wie oben gezeigt ausgerechnet.

mY+

Berechne zunächst a mittels der Halbwertzeit.
Die Halbwertzeit ist jene Dauer, nach der eine Anfangsmenge gerade zur Hälfte zerfallen ist. Du kannst die Anfangsmenge (y0) mit 2 wählen und den Bestand (y) nach 5.3 Jahren (das ist für x zu setzen) mit 1. Setze das alles ein und berechne a.

Wenn du das hast, kannst du die Funktion schon vollständig angeben. Dann können wir weiter machen, falls noch Unklarheiten bestehen. Lese aber bitte zuerst noch, was ich dir als Anleitung geschrieben habe.

mY+

10.12.2011, 19:16

Lk-Mathe

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aber ich habe doch a schon gegeben..

oder muss ich das jetzt trotzdem berechnen?

10.12.2011, 19:30

mYthos

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Wo ist a gegeben? Wie lautet es?
Nein, a wie in dem Ansatz oben ist nicht bekannt, sondern muss berechnet werden. Es gibt ja sonst keinen Parameter mehr. Wenn du meinst, a sei 2, dann musst du den u.a. alternativen Weg gehen:

Alternative: Die Basis muss nicht unbedingt mit a angesetzt werden. Du könntest sie wohl auch mit 2 wählen, müsstest aber dann noch einen Faktor k einführen. Dann wäre dies wie $\begin{eqnarray*} a = 2^k \end{eqnarray*}$ . Die Funktion hieße dann

$\begin{eqnarray*} y = y_0 \cdot 2^{kx} \end{eqnarray*}$

Anstatt a rechnest du nun k aus.

10.12.2011, 19:32

Lk-Mathe

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Stimmt das so?

5=100 * 2^(k*5,3)

( ln 0,05 / ln 2 ) / 5,3 = k

k= -0,815

10.12.2011, 19:53

mYthos

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Die 5 kommen erst in der zweiten Berechnung zum Zug.
Da du k ja mittels der Halbwertzeit berechnest, musst du anstatt 5 noch 50 einsetzen, 50 ist die Hälfte von 100

mY+

10.12.2011, 19:55

Lk-Mathe

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achso stimmt..

aber trotzdem der gleiche Rechenweg?

10.12.2011, 19:59

Lk-Mathe

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dann habe ich aber als k= -5,3

10.12.2011, 20:05

mYthos

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WIE hast du das gerechnet?
Offensichtlich hast du vergessen, bei der Umstellung der Gleichung den Bruch umzukehren, denn $\begin{eqnarray*} k = -\frac 1 {5.3} \end{eqnarray*}$

10.12.2011, 20:08

Lk-Mathe

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achso stimmt..

50 = 100 * 2 ^(c*(-1/5,3))

so?? oder wo muss ich das umkehren?

10.12.2011, 20:27

mYthos

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Nein, so nicht. Ohne Grund wird natürlich nichts umgekehrt.
Vielmehr muss sich das aus dem Umstellen der Gleichung nach c ergeben:

$\begin{eqnarray*} 50 = 100 \cdot 2^{\ c \cdot 5.3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 = 2^{5.3 c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\ln 2 = 5.3 \ c \ln 2 \end{eqnarray*}$

Den Rest erledigst du?

10.12.2011, 20:34

Lk-Mathe

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wie kommst du denn von 1/2 auf -ln 2 ?

10.12.2011, 20:37

mYthos

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Es ist der ln von 1/2. Denn beide Seiten der Gleichung sind zu logarithmieren, sonst kriegst du ja c nicht.

10.12.2011, 20:39

Lk-Mathe

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muss ich da den kehrwert von 1/2 bilden -> -2/1 ?

10.12.2011, 20:43

mYthos

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Der Kehrwert von 1/2 ist nicht -2 sondern 2. Es gilt aber

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 = 2^{-1} \end{eqnarray*}$

Wie lautet dann dessen Logaritmus?

Hinweis: Mittels der Logarithmengesetze geht es auch! Es ist

$\begin{eqnarray*} \ln \frac 1 2 = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 \end{eqnarray*}$

10.12.2011, 20:47

Lk-Mathe

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achso ich habe das gerade mit der orthogonalitlätsbedingung verwechselt..

ok dann am Ende

(-ln2 / ln2) / 5,3 = c

c= -0,189 (gerundet) -> also -1/5,3

10.12.2011, 21:00

mYthos

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So, das passt mal.
Wie geht's nun weiter?
(Bitte nachlesen, was darüber schon geschrieben wurde)

10.12.2011, 21:10

Lk-Mathe

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RE: Exponentialfunktion Faktor im Exponenten
Falls ich das richtig verstanden habe, suche ich jetzt das x im Exponenten für 5%

5= 100 * 2 ^((-1/5,3)*x)

ln 0,05 = (-1/5,3 *x) * ln 2

( ln 0,05 / ln 2 ) / (-1/5,3) = x

so?

musste ich da bei 0,5 auch irgendetwas ändern?
0,05 = 1/20
ln 1 - ln20 => -ln20 ?

ok ich habe gerade gemerkt, dass es sowieso dasselbe Ergebnis ist Big Laugh

Big Laugh

10.12.2011, 21:20

mYthos

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Und zu welchem Ergebnis kommst du jetzt?

Bemerkung: Wenn du durch einen Bruch dividierst, solltest du mit dessen Kehrwert multiplizieren. Also, anstatt durch -1/5.3 zu dividieren multipliziert man mit-5.3

10.12.2011, 21:23

Lk-Mathe

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ach natürlich..

dann hätte ich als Ergebnis 22,9

10.12.2011, 21:29

mYthos

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Was ist es denn? Äpfel, Birnen, Stunden, Minuten ... Big Laugh

Big Laugh

Du meinst natürlich Jahre. Ja, so ist es richtig! smile

smile

mY+

10.12.2011, 21:35

Lk-Mathe

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Natürlich Jahre Big Laugh

Big Laugh

Ich habe die ganze Zeit den Sinn der Aufgabe nicht verstanden, bis ich das Ergebnis gesehen hab..

Ich hatte davor eine andere Aufgabe, wo ich als Basis 0,5 hatte und das selbe Ergebnis.. Jetzt habe ich einen Faktor gefunden, der das selbe Ergebnis bei der Basis 2 liefert Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank für deine Hilfe..
Ich muss außerdem sagen, dass ich eure Geduld bewundere Big Laugh

Big Laugh

10.12.2011, 21:42

mYthos

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Unser Ziel ist es eben, den Thread so lange zu betreuen, bis Klarheit geschaffen ist. Das kann manchmal etwas länger dauern, aber der Erfolg rechtfertigt letztendlich den Aufwand. Und es ist schön, dass auch du nicht locker gelassen hast und bis zum Abschluss dabei geblieben bist.

In diesem Sinne, einen schönen Abend bzw. ein schönes WE wünscht dir

mY+

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