Problem bei Maßintegral(en)

10.12.2011, 18:21

Linara

Problem bei Maßintegral(en)

Hallo, wir haben als Aufgabe bekommen, dass wir ein paar Maßintegrale berechnen sollen:

Sei $\begin{eqnarray*} ( \mathbb R, \mathbb B , \lambda ) \end{eqnarray*}$ Maßraum (Lambda = Lebesgue-Maß, B entspreche der Borel-sigma-Algebra).

$\begin{eqnarray*} A := [-1,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1_A(x) \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion zur Menge A.

$\begin{eqnarray*} f(x) = ( 1 + sgn(x) * 1_A (x) ) \end{eqnarray*}$

Also habe ich zuerst mal das Urbild bestimmt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = 2 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x \in (0,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , sonst

Jetzt ist doch..

$\begin{eqnarray*} \int \! f(x) = \sum\limits_{x \in f(\Omega)} x * \lambda ( f=x) = \sum\limits_{x \in f(\Omega)} 2 * \lambda ((0,1]) = \sum\limits_{x \in f(\Omega)} 2 \end{eqnarray*}$

Und hier komme ich nicht weiter.. ist das richtig? Nach meiner Skizze müsste das Integral nämlich gleich 2 sein..

10.12.2011, 19:17

Linara

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Ich habe gerade einen Fehler in meinem f(x) festgestellt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ( 1 + sgn(x)) * 1_A (x) \end{eqnarray*}$

Muss es heißen - aber das löst mein Problem immer noch nicht - die Summe aller x aus dem Bildbereich, das sind in dem Falle doch 0 und 2, also sinds doch insgesamt nur 2 verschiedene?

Und wenn mein anderes x null ist, fällt die Reihe doch weg?!

11.12.2011, 01:36

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int \! f(x) = \sum\limits_{x \in f(\Omega)} x * \lambda ( f=x) = \sum\limits_{x \in f(\Omega)} 2 * \lambda ((0,1]) = \sum\limits_{x \in f(\Omega)} 2 \end{eqnarray*}$

Der zweite Schritt ist falsch.

Du summierst über alle $\begin{eqnarray*} x\in f(\Omega) = \{0,2\} \end{eqnarray*}$ . D.h. doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in f(\Omega)} x\cdot \lambda(\{f=x\}) = 0 \cdot \lambda(\{f=0\}) + 2\cdot\lambda (\{f=2\}) = \dots \end{eqnarray*}$

11.12.2011, 13:30

Linara

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Heißt das dann..

$\begin{eqnarray*} \sum_{x\in f(\Omega)} x\cdot \lambda(\{f=x\}) = 0 \cdot \lambda(\{f=0\}) + 2\cdot\lambda (\{f=2\}) = 0 * \lambda ([-1,0]) + 2 * \lambda((0,1] = 0 + 2 = 2 \end{eqnarray*}$

Ich habe das dann jetzt mal künstlich auf die Menge A eingeschränkt, eigentlich müsste ja da noch der Rest von R irgendwo zu finden sein, aber es hat ja dort den Funktionswert 0. Danke schon mal smile

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