Alle Körperhomomorphismen und deren Bilder

10.12.2011, 20:46	Zerfällungskörper	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Körperhomomorphismen und deren Bilder Hallo Leute, Ich habe hier eine Aufgabe, zu der ich ein paar Fragen habe. Ich soll alle Homomorphismen $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5},i) \to \overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray}$ und deren Bilder bestimmen. Nun meine Gedanken dazu: Es gilt ja: $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5},i)=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})(i) \end{eqnarray}$ , also kann man sich vielleicht erstmal alle Homomorphismen $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}) \to \overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray}$ überlegen. Ich lese den Bosch, da hilft Lemma 8 auf Seite 108 gut weiter. Dieses besagt nämlich, dass in diesem Fall der einfachen Körpererweiterung zu jeder Nullstelle des Minimalpolynoms genau ein Homomorphismus existiert. Die Nullstellen wären hier $\begin{eqnarray} \pm \sqrt[4]{5} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pm i\sqrt[4]{5} \end{eqnarray}$ . Es gibt also vier Stück. Im ersten und zweiten Fall wäre das Bild wohl $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray}$ und im ditten und vierten $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(i\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray}$ . Nur wie geht es nun weiter? Ich muss den Körper dann ja nochmal mit i erweitern. Dieses kann ich sicher auf i oder -i abbilden. Sind es dann insgesamt 8 Homomorphismen? Wie begründe ich das dann am besten? Könnte es sein, dass das Bild dann immer das gleiche ist, also $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5},i) \end{eqnarray}$ , dass sich die Homomorphismen in Wirklichkeit also zu Automorphismen beschränken? Gruß, Euer Zerfällungskörper
11.12.2011, 06:56	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Zerfällungskörper. Deine Überlegungen sind soweit richtig. Dass es insgesamt 8 Homomorphismen sind, kann man z.B. so sehen: Ist $\begin{eqnarray} \sigma :\mathbb{Q}(i)\to \overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus und $\begin{eqnarray} \tau:\mathbb{Q}(i)(\sqrt[4]{5})\to\overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus, der i festlässt, und ist $\begin{eqnarray} \overline{\sigma}:\overline{\mathbb{Q}}\to\overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray}$ eine Fortsetzung von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ,dann ist $\begin{eqnarray} \overline{\sigma}\circ \tau:\mathbb{Q}(i)(\sqrt[4]{5})\to\overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus, und für verschiedene solche $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ erhält man verschiedene solche Homomorphismen (wenn $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ geändert wird, wird i anders abgebildet; wenn $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ geändert wird, $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{5} \end{eqnarray}$ anders abgebildet, da $\begin{eqnarray} \overline{\sigma} \end{eqnarray}$ injektiv ist). Dass so ein $\begin{eqnarray} \overline{\sigma} \end{eqnarray}$ immer existiert, kann man allgemein beweisen (steht auch im Bosch), hier ist es sogar besonders einfach anzugeben. Wobei du streng genommen bei deinem Argumentationsstrang noch beweisen müsstest, dass das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{5} \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ das gleiche ist wie über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(i) \end{eqnarray}$ um auf die 24=8 Möglichkeiten zu kommen. Hierbei bietet es sich an mit dem Gradsatz zu argumentieren. Dass das Bild immer das gleiche ist, ist richtig. Der Beweis hiervon ist klar oder? Das zeigt dann, dass die Erweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{5})/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ normal ist.

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