Gerade und Ebene |
| 10.12.2011, 22:28 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gerade und Ebene In einem kartesischen Koordinatensystem ist für jedes a eine Gerade g durch x= (2a, 4a, 4) + t* (4-a, 10-2a, -4) gegeben. [Die in Klammern stehenden Zahlen stehen eigentlich untereinander, da es ja Vektoren sind]. a) Weisen Sie nach, dass keine Gerade g die x-y-Ebene orthogonal schneidet. b) Alle Schnittpunkte S der Geraden g mit der x-y-Ebene liegen auf ein und derselben Geraden. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden. c) Es existiert genau eine Gerade g, für die der Schnittwinkel mit der x-y-Ebene maximal ist. Ermitteln Sie für diese Gerade den Wert a. Meine Ideen: Möglicherweise müsste man den z-Wert gleich 0 setzen, da es ja um die x-y-Ebene geht....und wenn es um Orthogonalität geht müsste man eventuell mit dem Skalarprodukt arbeiten, aber ich hab absolut keine Ahnung wie ich diese Ansätze anwenden soll 
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| 10.12.2011, 22:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hinweis.
Ist (a) kein sinnvoller Titel und (b) widerspricht es unserem Boardprinzip. |
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| 10.12.2011, 22:34 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, falsch formuliert...wollte eigentlich nur eure Hilfe, indem ihr mir vielleicht ein paar Tipps zum Lösungsweg geben könnt...??? |
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| 10.12.2011, 23:23 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu a) Wie müsste denn der Richtungsvektor einer Geraden g z.B. lauten, wenn g die xy-Ebene senkrecht schneiden soll ? |
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| 11.12.2011, 10:52 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da müsste ja eigentlich der z-Wert 0 sein oder? Und das geht ja schonmal nicht, weil er in diesem Fall -4 ist. Ist das die Erklärung dafür? |
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| 11.12.2011, 11:03 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Er muss nicht -4 sein, sondern 4-4t |
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| 11.12.2011, 11:17 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir das erklären? |
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| 11.12.2011, 11:23 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da stimmt schon eher die idee von karo1510. aber leider ist der schnittwinkel von geraden und ebenen über den SINUS definiert
womit etwas mehr arbeit mit der aufgabe verbunden ist, da |
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| 11.12.2011, 11:27 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso stimmt, so kann man das ja machen. Aber das is schon so lang her, weiß gar nicht mehr wie das geht....muss ich da jetz von der Geraden und der x-y-Ebene einen Normalenvektor bzw. das Skalarprodukt aufstellen? Aber wie mach ich das, wenn ich gar keine Punkte gegeben habe
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| 11.12.2011, 11:41 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben da von zwei verschiedenen Dingen gesprochen. Du meintest die z-Komponente des Vektors müsste -4 sein , das ist ok Ich meinte der z-Wert des Schnittpunktes müsste 4-4t sein. Aber jetzt zum Skalarprodukt: Einfach ausmultiplizieren und es kommt NICHT Null heraus, was sagt Dir das dann? |
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| 11.12.2011, 11:46 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ausmultiplizieren und die quadratische gleichung in a lösen. wenn keine lösung existiert, also die diskriminante D < 0 ist, hast du gezeigt, was du solltest 
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| 11.12.2011, 11:48 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich muss die Geradengleichung jetz nach a umstellen, also a lösen? Hab ich das richtig verstanden? |
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| 11.12.2011, 12:03 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ne, also dann mal ein bisschen Klartext: a) Der Ansatz mit der sin(alpha) stimmte hier schon. Eigentlich ist ja die Formel mit cos(alpha) bekannt und liefert den Winkel zwischen zwei Vektoren. Hier hast Du aber nur einen Vektor und einen NORMALvektor, Du würdest also den falschen Winkel berechnen (den Komplementärwinkel). oder anders gedacht: "Weisen Sie nach, dass keine Gerade g die x-y-Ebene unter 90° schneidet" ist das gleiche wie "Der Vektor der Geraden ist parallel zum Normalvektor der Ebene". Der Normalvektor der Ebene sollte kein Problem sein, und parallel heisst, das der Schnittwinkel 0° ist. Versuche also einfach die cos(alpha)-Formel und Du wirst sehen, es kommt NICHT NULL heraus. b) Einfach Gerade und Ebene schneiden (am besten aufgeteilt in x,y,z-Komponente) --> die gewünschte Geradengleichung. |
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| 11.12.2011, 12:28 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich steh immernoch auf dem Schlauch....muss ich erst nach a auflösen? Denn ich brauch ja erstmal ne Geradengleichung ohne das a...? Und der Normalenvektor der Ebene...naja...weiß ich irgendwie auch nich
Sorry, bin nur Mathe Grundkurs
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| 11.12.2011, 12:53 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lass Dich vom a nicht ablenken, denk Dir a ist eine beliebige Zahl und schleppe es einfach durch die Rechnung :-) a) Skalarprodukt von (4-a, 10-2a, -4) mit (0,0,1), also der Richtung der Geraden und des Normalvektors der x-y-Ebene cos(alpha) = Skalarprodukt /( ... ) der Nenner ist unwichtig Für cos(alpha) müsste null herauskommen, tut es aber nicht Was kannst Du daraus schliessen? b) Gerade mit Ebene schneiden, dazu die Gerade in 3 Komponenten aufspalten. x= 2a + t* (4-a) y= .hr einfach:.. z= ... Jetzt in die Ebenengleichung einsetzen, die Ebenengleichung ist hier sehr einfach: z = 0 Du brauchst also nur z einsetzen --> t --> ??? Versuch mal, ob das bis hier klappt. |
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| 11.12.2011, 13:09 | MietzKaro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie lautet denn das Skalarprodukt bei a)? ich komm da absolut nich drauf
Naja wenn da nich 0 rauskommt is ja die Orthogonalität ausgeschlossen, dh damit hab ich bewiesen, dass keine Gerade die x-y-Ebene orthogonal schneidet, richtig? Naja und zu b): Da wäre dann y: 4a + t* (10-2a) und z: 4+ t* (-4) Also muss ich jetz für die Ebenengleichung 4+ t* (-4) einsetzen und jetz nach t umstellen? Da würde das also bedeuten 0= 4+ t* (-4) t= -4/4, also t= -1 Stimmt das t mit -1 so? |
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| 11.12.2011, 13:21 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
t=1 und das Skalarprodukt allgemein von z.B. (a,b,c).(d,e,f) = a.d + b.e + c.f (4-a, 10-2a, -4) . (0,0,1) = ? |
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| 11.12.2011, 13:33 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da wäre das Skalarprodukt jetz: 4-a * 0 10-2a * 0 -4 * 1 Also wäre dann das Skalarprodukt -4, denn 0+0+ (-4) = -4? |
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| 11.12.2011, 14:05 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Skalarprodukt = -4 also NICHT Null, daher der Winkel zwischen Normalvektor und Gerade NICHT 0° --> Winkel zwischen Ebene und Gerade NICHT 90° |
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| 11.12.2011, 14:26 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, dankeschön 
und was mach ich jetz mit dem t=1 bei Aufgabe b)? |
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| 11.12.2011, 15:57 | MietzKaro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 11.12.2011, 15:59 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann mir jemand weiterhelfen? |
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| 11.12.2011, 16:06 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
im konkreten fall stimmt es, dass kein g auf E senkrecht steht, allerdings stimmt die argumentation "aus "Skalarprodukt = -4, daher... " NICHT den richtigen weg habe ich oben schon beschrieben |
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| 11.12.2011, 16:11 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also muss ich jetz sin(alpha)= -4 / .... durch was muss ich denn die -4 jetz dividieren? |
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| 11.12.2011, 16:26 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
quadrieren ergibt jetzt mußt du für r² einsetzen, - ich hab´s gerade nicht im kopf - , und die quadratische gleichung in a lösen. ach ja: da diese gleichung kein reellwertiges a als lösung hat, folgt die behauptung, aber nicht schon aus "das skalarprodukt S = - 4" lediglich aus S = 0 folgt, dass 2 vektoren aufeinander senkrecht stehen. edit: fehler entfernt |
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| 11.12.2011, 16:36 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lass Dich nicht von riwe verwirren. daraus folgt zwar, dass der winkel .... nicht 0° ist , allerdings kann er im allgemeinen fall immer noch 180° betragen, und damit steht g senkrecht auf E. das stimmt nicht - auch bei 180° müsste NULL herauskommen. Deine Argumentation war also richtig! Und nun zu Deiner Frage "was mache ich nun mit dem t=1" Antwort: Einsetzen in die anderen beiden Gleichungen: y= 4a + t* (10-2a) z= 4+ t* (-4) Dann bekommst Du "die Menge aller Schnittpunkte". Vielleicht siehst Du, wenn Du die drei Ergebnisse für x,y,z untereinandr schreibst selbst, dass alle auf einer Geraden liegen. |
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| 11.12.2011, 16:37 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also bei y komm ich jetz auf 2a + 10 wenn ich 1 für das t einsetze und bei z komm ich auf 0. Stimmt das soweit? Aber jetz weiß ich nich wie ich die Geradengleichung ermitteln kann
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| 11.12.2011, 16:50 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, Du musst natürlich auch in x = ... einsetzen Aber Du könntest auch genauso wieder in der Ursprungsgleichung (siehe Angabe) einsetzen x= (2a, 4a, 4) + t* (4-a, 10-2a, -4) --> x= (2, 4, 4) + t* (3,8,-4) ... und hast die Lösungsmenge aller Schnittpunkte direkt als Geradengleichung |
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| 11.12.2011, 17:00 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ist jetz das was du hinter dem x stehen hast die Geradengleichung? Oder muss ich noch was mit der y- und z- Gleichung machen? Sorry dass ich mich so blöd anstelle
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| 11.12.2011, 17:07 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
DIESES x ist ja eine Abkürzung für (x,y,z) Sonst würde es ja auch nicht zur geg. Vektorgleichung passen. Angabe wäre also klarer so gewesen: (x,y,z) = (2a, 4a, 4) + t* (4-a, 10-2a, -4) Aufgesplittet: x = 2a + t.(4-a) y = 4a + t.(10-2a) z = 4 + t.(-4) Ergebnis: (x,y,z) = (2, 4, 4) + t* (3,8,-4) |
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| 11.12.2011, 17:17 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen lieben Dank, jetz hab ichs verstanden
Eine Hürde is jetz nur noch : Aufgabe c 
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| 11.12.2011, 17:38 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aufgabe c ist eine Extremwertaufgabe, Du sollst den maximalen Schnittwinkel errechnen. Hier wirst Du wieder mit der cos(alpha)-Formel weiterkommen. Wie Du schon vorher bemerkt hast, sind die betreffenden Vektoren a=(0,0,1) und b=(4-a, 10-2a, -4) Das Skalarprodukt im Zähler hast Du auch schon berechnet ( = -4 ) Nun noch die beiden Beträge von a und b einsetzen. Dann hast Du eine Formel für den cos des Winkels zwischen dem Normalvektor der Ebene und dem Vektor der Geraden. Dieser soll nun minimal werden, also... ??? |
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| 11.12.2011, 17:47 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt das, wenn ich im Nenner 1 * 16 stehen hab? Sicherlich nich oder?
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| 11.12.2011, 17:51 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
[quote]Original von gb Lass Dich nicht von riwe verwirren. {/quote] das solltest zuallererst du selbst beherzigen. 
(es stimmt allerdings, dass das mit 180° unsinn ist, das habe ich aber oben schon lange beseitigt) es ist ja nicht das 1. mal, dass du schnell falsches verbreitest, z.. dreieck in raute verwandeln etc- |
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| 11.12.2011, 17:53 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kommst Du auf die 16? Betrag von (0,0,1) ist richtig = Wurzel(0²+0²+1²) Betrag von (4-a, 10-2a, -4) = ? |
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| 11.12.2011, 17:58 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja ich hab für a immer 0 eingesetzt und da bleibt ja nur -4² übrig. Oder was muss ich für a einsetzen? |
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| 11.12.2011, 17:59 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 11.12.2011, 18:02 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt wieder zum "Gerade und Ebene"-Bsp.: Du sollst NICHTS für a einsetzen, Du willst ja jenes a suchen, für das der Winkel minimal wird. Also a bleibt a, es entsteht eine Formel für sin(alpha), die als einzige Variable a hat. Was musst Du dann tun, um den minimalen Winkel zu bekommen? |
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| 11.12.2011, 18:07 | Karo1510 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also jetz ne Frage: erst hast du cos(alpha) geschrieben und jetz sin(alpha), ich muss cos nehmen oder? Ich weiß nich wirklich was ich da jetz machen muss weil mich das a total verwirrt
Edit: Eigentlich muss ich das ja auch alles quadrieren oder? Also: |
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| 11.12.2011, 18:19 | gb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit sin/cos ist so eine Sache eigentlich natürlich cos ! Das ist aber momentan noch egal, vielleicht kommen wir später darauf zurück und bleiben vorläufig bei cos :-) Aber in Deiner Formel hast Du Dich verschrieben: NICHT -4a sondern 4-a Ausquadrieren wird die Sache ev. erleichtern, je nachdem, wie gut Du ableitest ;-) Wie gehts also weiter? |
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