Differentation

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11.12.2011, 00:47	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentation Hallo Leute, ich bräuchte mal wieder eure Hilfe. Ich muss die die erste und zweite Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{1-ln(1+x)} \end{eqnarray}$ bilden. Für die erste Ableitung erhalte ich $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{(x+1)(1-ln(x+1))^{2} } \end{eqnarray}$ Die zweite Ableitung bereitet mir jedoch ziemliche Probleme. Im Nenner muss ich jetzt die Produktregel und Kettenregel beachten, oder? Die Kettenregel bei dem Term $\begin{eqnarray} (1-ln(x+1))^{2} \end{eqnarray}$ bereitet mir Kopfschmerzen. Wie kann man am besten da rangehen. Was ist im diesem Fall die innere und was ist die äußere Funktion? Grüße Sebastian
11.12.2011, 01:07	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Berti! Also deine erste Ableitung ist richtig berechnet! Bei der zweiten musst du tatsächlich die Produkt- und Kettenregel anwenden. Deine äußere Funktion von $\begin{eqnarray} (1-ln(x+1))^{2} \end{eqnarray}$ ist das Quadrat. Also erst das Quadrat vorziehen, im Exponenten eins abziehen und dann innen nachdifferenzieren. Gruß Johnsen
11.12.2011, 01:26	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dann die Ableitung vom Term $\begin{eqnarray} (1-ln(x+1))^{2} \end{eqnarray}$ der Term $\begin{eqnarray} 2(1-ln(x+1))(-x+1)^{-1} \end{eqnarray}$ ?
11.12.2011, 01:29	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, nicht ganz, kleiner Vorzeichenfehler beim Nachdifferenzieren!
11.12.2011, 01:35	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh, stimmt. $\begin{eqnarray} 2(1-ln(x+1))(-x-1)^{-1} \end{eqnarray}$ müsste jetzt aber stimmen, oder?
11.12.2011, 01:38	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt. Du kannst das - natürlich auch in den Zähler ziehen. $\begin{eqnarray} 2(1-ln(x+1))(-x-1)^{-1} \,=\,\frac{-2(1-ln(x+1))}{x+1} \end{eqnarray}$ Gruß Johnsen
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11.12.2011, 01:53	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erhalte jetzt für meine zweite Ableitung der Ausgangsfunktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{1-ln(1+x)} \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{-(1-ln(x+1)^{2}+(x+1)2(1-ln(x+1)(-x-1)^{-1} }{((x+1)(1-ln(++1))^{2} )^{2} } \end{eqnarray}$ Kannst du das bestätigen?
11.12.2011, 09:34	gb	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zweite Ableitung stimmt nicht. Da fehlen mindestens zwei Klammern (oder sonst noch was?) Aber das Ergebnis sieht "Deinem Ergebnis" noch nicht sehr ähnlich :-/ Wie sieht denn Deine erste Ableitung aus?
11.12.2011, 09:38	gb	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe gerade noch mal alle Varianten der fehlenden Klammern durchprobiert, und da kommen wir ev. der Lösung dann schon sehr nahe! Versuche mal die Klammern richtig zu setzen, dann lässt sich auch noch etwas kürzen... Ein 2er fehlt mir auch noch irgendwo, aber vielleicht taucht da ja bei geeigneter Kontrolle oder Klammersetzung noch auf :-)
11.12.2011, 10:53	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine erste Ableitung ist $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{(x+1)(1-ln(x+1))^{2} } \end{eqnarray}$ Wenn ich nun keine Fehler drin habe, ergibt sich für $\begin{eqnarray} u=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=(x+1)(1-ln(x+1))^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'=(1-ln(x+1))^{2}+(x+1)2(1-ln(x+1))(-x-1)^{-1} \end{eqnarray}$ Ist das soweit korrekt?
11.12.2011, 11:10	gb	Auf diesen Beitrag antworten »
passt - und jetzt noch v' vereinfachen dann sollte sich die zweite Ableitung auch leichter vereinfachen lassen.
11.12.2011, 11:16	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} v'=(1-ln(x+1))^{2}+(2x+2)(1-ln(x+1))(-x-1)^{-1} \end{eqnarray}$ Kann ich da noch weiter vereinfachen? Irgendwie seh ich's nicht...
11.12.2011, 16:29	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} v'(x)=1-ln(x+1))^{2}-2(1-ln(x+1)) \end{eqnarray}$ Hab ich den Term jetzt richtig vereinfacht?
12.12.2011, 17:36	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand ein Feedback geben?
12.12.2011, 17:48	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die erste Klammer noch richtig, setzt, dann stimmts! $\begin{eqnarray} v'(x)=(1-ln(x+1))^{2}-2(1-ln(x+1)) \end{eqnarray}$
12.12.2011, 17:57	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
Also lautet meine zweite Ableitung: $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{-((1-ln(x+1))^{2}-2(1-ln(x+1))) }{((x+1)(1-ln(x+1))^{2})^{2} } \end{eqnarray}$ Korrekt?
12.12.2011, 17:59	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
so siehts aus! Du kannst aber noch etwas vereinfachen und einmal (1-ln(x+1)) kürzen!
12.12.2011, 18:07	Berti-82	Auf diesen Beitrag antworten »
Supi, ich dank dir!!!

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