Reihen - Konvergenz und Grenzwert

11.12.2011, 13:48

Traumtänzerin

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Reihen - Konvergenz und Grenzwert

Meine Frage:
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie ggf. ihren Grenzwert.

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ln(1 + \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ln(1 + \frac{1}{n(n+2)}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Zu a)
$\begin{eqnarray*} ln(1 + \frac{1}{n})= ln(\frac{n+1}{n})= ln(n+1)-ln(n) \end{eqnarray*}$

Zu b)
$\begin{eqnarray*} ln(1 + \frac{1}{n(n+2)}) = ln( \frac{n(n+2) + 1}{n(n+2)}) = ln ((n+1)(n+1)) - ln (n(n+2)) \end{eqnarray*}$

Beides hätte ich erstmal so umformen wollen, und dann entweder mit Epsilon oder den "normalen" Konvergenzkriterien auf Konvergenz untersucht.
Allerdings komme ich nicht weiter. Ich stör mich total an ln .. Oo

Und bei dem Grenzwert von Reihen stehe ich so und so etwas auf dem Schlauch..
Für alternierende Reihen nehme ich die Fehlerabschätzung, für geometrische "diese" vorgegebene Formel und für solche?
Ich habe versucht mir, mit dem was ich gelesen hatte, einzureden, dass der Grenzwert einer Reihe gleich dem Grenzwert seiner Partialsummen ist, aber bei der harmonischen Reihe stimmt das ja schonmal überhaupt nicht..

Kann mir da jemand helfen ??

Danke schon mal im Voraus. smile

smile

11.12.2011, 13:53

Mulder

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Das sind beides Teleskopreihen. Mach dich zu dem Thema nochmal schlau.

Bei der zweiten Reihe zerlege den ln noch mehr.

11.12.2011, 14:20

Traumtänzerin

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
zu b)
$\begin{eqnarray*} (...)=ln ((n+1)(n+1))-ln (n(n+2)) = ln (n+1) + ln (n+1) - (ln(n) + ln(n+2)) = ln (n+1) - ln(n) + ln (n+1) - ln(n+2) \end{eqnarray*}$

So ungefähr?

Okay gut, danke für das Stichwort.. smile

smile

Teleskopsummen sagen mir, dass sich die Nachbarglieder aufheben..

Könnte ich also sagen

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ln(n+1)-ln(n) = \lim_{n \to \infty } ln(1) = 0 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ln (n+1) - ln(n) + ln (n+1) - ln(n+2)= ln (1) - ln (1)= 0 \end{eqnarray*}$

Und würde das auch schon die Konvergenzuntersuchung ersetzen? Da, wenn ein Grnezwert existiert, auch die Reihe konvergent sein müsste?

(Darf ich denn einfach bei einer Reihe den Grenzwert der Folge als den Grenzwert der Reihe übernehmen ??)

11.12.2011, 14:28

Mulder

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Dass die Folge einen Grenzwert hat, reicht nicht (notwendig ist es, aber nicht hinreichend, die Folge muss ja sogar stets eine Nullfolge sein, damit die Reihe konvergieren kann). Schon gar nicht ist der Grenzwert der Folge gleich dem Reihenwert. Die Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$

konvergiert in dem Sinne auch gegen 1, das heißt aber noch lange nicht, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} 1 \end{eqnarray*}$

auch gegen 1 konvergiert.

Entscheidend ist, dass die Folge der Partialsummen einen Grenzwert besitzt. Denn dieser Grenzwert entspricht dann dem Reihenwert. Die Partialsummen solltest du also betrachten (und überhaupt erst einmal sauber aufschreiben).

11.12.2011, 14:47

Traumtänzerin

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Achso also war das jetzt unsauber? Das sollte es natürlich nicht sein..
Falsch war´s auch noch? unglücklich

unglücklich

Mhh, aber es gibt doch beliebig viele Partialsummen, oder?
Woher wieß ich da, welche ich untersuche ?

Achso, ich dachte, dass die Folge eine Nullfolge sein muss, gilt nur für alternierende Reihen.
Gut, dann merk ich mir das mal besser gleich!!

Also prüf ich, ob meine Folgen Nullfolgen sind, und konvergieren ?
Mhh, da überfordert mich ja trotzdem noch das ln, trotz Umformung und der Erkenntniss, was Teleskopsummen sind..

11.12.2011, 16:18

Traumtänzerin

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Hey, kann mir vielleicht nochmal jemand helfen?
Ich finde wirklich nichts, was mir bei Teleskopsummen noch weiterhelfen kann, in meinem Skript steht dazu schon mal gar nichts. Oo .. und Wikipedia ist auch nicht grade sooo aufschlußreich für mich..

Selbst wenn ich beweisen könnte (!) dass die Folge eine Nullfoge ist, wäre damit ja noch nicht die Konvergenz der Reihe bewiesen, weil es doch nur in umgekehrter Richtung eine wahre Aussage ist. verwirrt

verwirrt

Danke.

smile

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11.12.2011, 16:31

Mulder

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Dass die Folge selbst gegen 0 konvergiert, sollte man sehen. Nochmal: Es geht aber um die Folge der Partialsummen! Die muss konvergieren!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \ln \left ( 1 + \frac{1}{n}\right ) = \sum\limits_{n=1}^\infty \ln (n+1) - \ln(n) = \lim_{k \to \infty} \sum\limits_{n=1}^k \ln(n+1)-\ln(n) = \lim_{k \to \infty} \left ( \ln(k+1) - \ln(1) \right ) = \lim_{k \to \infty} \ln (k+1) \end{eqnarray*}$

Das dritte Gleichheitszeichen ergibt sich eben aus der Betrachtung als Teleskopsumme.

11.12.2011, 16:48

Traumtänzerin

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Okay, ich glaube ich gebs auf..

Das sind doch jetzt auch keine Partialsummen ?! ..

Danke trotzdem.

11.12.2011, 17:16

Mulder

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Keine gute Einstellung, bei der geringsten Schwierigkeit gleich das Handtuch zu werfen. Und das, obwohl ich dir jetzt schon im Grunde eine Komplettlösung hingeschrieben habe, was ich laut Boardprinzip gar nicht hätte tun dürfen. Und offensichtlich weißt du ja auch gar nicht, was Partialsummen sind, das hätte man ja mal nachschlagen können. unglücklich

unglücklich

Die Reihe wurde umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sum\limits_{n=1}^k \ln(n+1)-\ln(n) \end{eqnarray*}$

Das kann man sich als eine Folge vorstellen, meinetwegen so:

$\begin{eqnarray*} b_k = \sum\limits_{n=1}^k \ln(n+1)-\ln(n) \end{eqnarray*}$

Das ist dann eine Folge von Partialsummen, die k-te Partialsumme der ursprünglichen Reihe ist einfach

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^k \ln(n+1)-\ln(n) \end{eqnarray*}$

Also die Summe der ersten k Glieder der Reihe.

Nun lassen wir bei $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ das k gegen unendlich laufen. Existiert der Grenzwert, ist das auch der Reihenwert. Existiert er nicht, divergiert die Reihe. Und bei $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ nutzt du eben dein Wissen über Teleskopsummen, um die lästigen Summenzeichen endlich loswerden zu können.

11.12.2011, 17:38

Traumtänzerin

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Tut mir leid, ich werde nur grade immer verzweifelter, ..

Ahh. Hammer

Hammer

Stimmt, das k da oben begrenzt meine Reihe ja, blöd von mir. -.-

Okay, dann würde ich sagen er existiert nicht, weil es ja gegen unendlich läuft.
Damit konvergiert die Reihe nicht sondern sie divergiert?

Okay, dann versuch ich jetzt mal b)
Nur eine Frage dazu, wenn ich jetzt festgestellt hätte, dass die Partialsumme gegen einen Grenzwert konvergiert, damit wäre dann 1. auch die Konvergenz der ganzen Reihe gezeigt und 2. Der Grenzwert der Partialsumme, ist gleich dem Grenzwert der Reihe?

Entschuldige, ich bemüh mich um eine bessere Einstellung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.12.2011, 17:57

Mulder

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert

Zitat:

Original von Traumtänzerin
Okay, dann würde ich sagen er existiert nicht, weil es ja gegen unendlich läuft.
Damit konvergiert die Reihe nicht sondern sie divergiert?

So ist es, die Reihe in Aufgabe a) divergiert.

Zitat:

Original von Traumtänzerin
Nur eine Frage dazu, wenn ich jetzt festgestellt hätte, dass die Partialsumme gegen einen Grenzwert konvergiert, damit wäre dann 1. auch die Konvergenz der ganzen Reihe gezeigt und 2. Der Grenzwert der Partialsumme, ist gleich dem Grenzwert der Reihe?

Jeweils die Folge der Partialsummen, dann stimmt es so ungefähr. Eine Reihe ist ja genau das: Eine Folge von Partialsummen. Darum ist die Konvergenz der Folge der Partialsummen natürlich gleichbedeutend mit der Konvergenz der Reihe - weil beides genau dasselbe ist.

11.12.2011, 18:20

Traumtänzerin

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Okaaay..
Also ich versuch´s dann mal..

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ln(1 + \frac{1}{n(n+2)})= ln (n+1)+ ln (n+1) - ln(n) - ln(n+2) = \lim_{k \to \infty} \sum\limits_{n=1}^k ln (n+1) - ln(n) + ln (n+1) - ln(n+2) = \lim_{k \to \infty} (ln(2) - ln (k+2) + ln(k+1)-ln(1)) = ln (2) \end{eqnarray*}$

Bei dem Auffassen als Teleskopsummen bin ich mir nicht so ganz sicher...
Und ist dann ist es dann (sofern der Schritt davor korrekt ist) richtig, dass ich einfach bei ln(k+1)+ln(k+2) sagen kann das sich ln(1) also wieder 0 als Grenzwert ergibt ?!

Ich hoffe, dass ist jetzt nicht völlig falsch, und du verzweifelst bald noch mit mir.. smile

smile

11.12.2011, 19:14

Mulder

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert

Zitat:

Original von Traumtänzerin
Bei dem Auffassen als Teleskopsummen bin ich mir nicht so ganz sicher...

Dann guck das halt nochmal nach. Wenn das auch noch unklar ist, hast du meinen Lösungsweg zur ersten Aufgabe wahrscheinlich nach wie vor nicht verstanden und dann ist es doch witzlos. Verständnisfragen sind das eine, aber das sind doch jetzt reine Wissenslücken, und die kann man beheben.

Auf Wikipedia gibt's auch nochmal ein paar Beispiele dazu.

Versuch bei der zweiten Aufgabe, nicht nur eine, sondern gleich zwei Teleskopsummen zu bauen.

Übrigens: Vermeide innerhalb der Latex-Umgebung so elend lange Zeilen. Dann lieber mal abbrechen und in der nächsten Zeile neu anfangen. Denn wenn man seitlich Scrollen muss, um alles lesen zu können, ist das etwas lästig auf Dauer.

Edit: ln(2) sieht allerdings richtig aus. Ob du das aus den richtigen Gedanken heraus geschlossfolgert hast, kann ich grad nicht genau sagen, aber ich komme auf das selbe.

11.12.2011, 19:51

Traumtänzerin

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Ich meinte damit eher, dass ich es so mache, wie ich es laut Wikipedia und dir verstanden habe, nicht das ich willkürlich rate ..
Ich versuch das schon so gut ich kann zu verstehen und überall Informationen heraus zu ziehen .. geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sum\limits_{n=1}^k ln (n+1) - ln(n) + ln (n+1) - ln(n+2) = \lim_{k \to \infty} (-ln(1) + ln(2) - ln (k) + ln(k+1)) = ln (2) \end{eqnarray*}$

Anders umgeformt, aber ich komme auf´s selbe Ergebnis.
Ich habe das jetzt so - wie es in Wikipedia - ausgeschrieben.
Das heißt geguckt, welches Folgeglied sich mit welchem wegkürzen würde, und die übrigen sind diese..

Eine zweite Teilfolge:

$\begin{eqnarray*} \lim_{2k \to \infty} \sum\limits_{n=1}^{2k} ln (n+1) - ln(n) + ln (n+1) - ln(n+2) = \lim_{2k \to \infty} (-ln(1) + ln(2) - ln (2k) + ln(2k+1))<br /> =\lim_{2k \to \infty} (-ln(1) + ln(2) - (ln (2) + ln (k)) + ln (2) + ln(k+\frac{1}{2} ))<br /> =\lim_{2k \to \infty} (-ln(1) + ln(2) - ln (2) - ln (k) + ln (2) + ln(k+\frac{1}{2} ))= ln (2) + ln(\frac{1}{2} ) \end{eqnarray*}$

Liegt das jetzt daran ,dass ich was falsch gemacht habe, oder kommt einfach was verschiedenes raus, wenn die Folge nicht konvergiert?
An und für sich würde ich meine, dass ln(k) und ln k + 0,5) so mininal aus einanderliegen für k gegen unendlich, dass sich beim Grenzwert auch Null ergibt, und ich so auch ln(2) heraus bekommen ?

Mh, wenn du auf das selbe gekommen bist, vergesse ich meine zweite Teilfoge lieber mal ganz schnell.

Sorry, wegen der LaTex-Geschichte. smile

smile

11.12.2011, 23:02

Mulder

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Dann ist das schon okay. Ich hatte es so gedacht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \ln(n+1)-\ln(n) - \sum\limits_{k=1}^{\infty} \ln(n+2)-\ln(n+1) =\sum\limits_{k=1}^{\infty} \ln(n+1)-\ln(n) - \sum\limits_{k=2}^{\infty} \ln(n+1)-\ln(n) \end{eqnarray*}$

gezielt, denn so hebt sich mit dieser Indexverschiebung auch alles weg und es bleibt $\begin{eqnarray*} \ln(2)-\ln(1) \end{eqnarray*}$ stehen. Finde ich etwas schöner, aber gut. Den Schritt hast du wohl quasi "im Kopf" gemacht. Das mit der zweiten Teilfolge verstehe ich irgendwie nicht.

11.12.2011, 23:12

HAL 9000

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Vielleicht sollte man diesen Thread mit dem hier

Grenzwerte berechnen

vereinigen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.12.2011, 00:15

Traumtänzerin

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RE: Reihen - Konvergenz und Grenzwert
Schöner siehts wirklich aus .. ^^

Ja naja, vergiss die zweite Teilfolge, da habe ich alle k´s durch 2k ersetzt.
Iich hab´ schon befürchtet, dass da irgendwie was nicht stimmen kann.
Wenn das mit dem k so richtig ist, wie du ja meintest, hab ich´s dann ja auch wirklich verstanden. Big Laugh

Big Laugh

Ich danke dir. Super Freude

Freude

12.12.2011, 00:17

Traumtänzerin

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Och nö..

Ups

Sorry, dabei hatte ich vorher eigentlich nach ähnlichen Fragen gesucht..

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