Verschoben! Vektorrechnung - Abstands Problem

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Master1991 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung - Abstands Problem
Hallo, folgende Aufgabe habe ich vorliegen:


"Mithilfe dreier Messstationen mit den Koordinaten M1 = (1; 0), M2 = (-4; 0) und
M3 = (0; 0) soll die Position Q = (x; y) eines Senders geortet werden.
Ein von Q aus gesendetes Signal hat die Geschwindigkeit c = 300:000 km*s^-1 und legt den Weg zu den Messstationen in den
Zeiten t1, t2 bzw. t3 zurück, wobei man jedoch nur die Laufzeitunterschiede Delta1 = t3-t1 = 10^-5 s und Delta2 = t3 - t2 = 2 * 10^-5 s messen kann.
Entfernungen sind hier in km, Zeiten in Sekunden angegeben.
Wo liegt der Sender?"

So, hab jetzt ein bisschen überlegt und bin zu folgendem gekommen:

Da wir die Delta Werte gegeben haben, kann ich ja somit die Entfernung der Stationen 1 und 2 zu 3 ausrechne, wo ich dann 3km sowie 6km rausbekomme. Das erste was mir dann auffällt...entweder ich hab was falsch gemacht oder die Zeichnungen sind auf keinen Fall Maßstabsgetreu.

Naja angenommen das Stimmt so, dann heißt das ja das der Abstand von Q zu M1 um 3km länger sein muss als der Abstand von Q zu M3 und Q zu M2 um 6km länger.

Hmm ja aber wie geh ich da jetzt ran...es kann ja immernoch nen Grundabstand von M3 zu Q geben. Q muss ja nicht auf M3 liegen. Finde da irgendwie keinen Ansatz.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Wunder, denn diese Angabe ist totaler Schwachsinn.

Die berechneten Laufzeitunterschiede entsprechen tatsächlich 3000 m bzw. 6000 m, also 3 km bzw. 6 km. Diese Längen sind jetzt nicht M1M3 und M2M3, sondern M3Q - M1Q bzw. M2Q - M3Q. Da liegt bereits der 1. Fehler in der Angabe, denn die Laufzeitdifferenz kann zuletzt nicht t3 - t2, sondern muss t2 - t3 betragen.

Ärger ist noch der zweite Fehler, denn die Dreiecksungleichungen zeigen sofort, dass bei einer Entfernung der Messstationen M1M3 von 1 km der dortige Wegunterschied maximal 1 km, bei M2M3 (4km) dieser maximal 4 km betragen kann. Somit können 3km und 6 km nicht zu einer Lösung führen.

Allgemeines Vorgehen:
Die Vektoren sind: M3Q = (x; y), M1Q = (x-1 ; y), M2Q = (x+4 ; y)
Nun müssen die Differenzen deren Beträge den mittels der Laufzeitunterschiede ermittelten Wegdifferenzen gleichgesetzt werden. Dies ergibt zwei Gleichungen in x, y.

Geometrisch gesehen ist der gesuchte Standort Q des Senders der Schnittpunkt zweier Hyperbeln mit den Brennpunkten M1, M3 und M2, M3.

mY+
 
 
Master1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort, dachte schon das keiner mir helfen kann und ich beötige dringend die Lösung der Aufgabe.

So also was du schreibst ist für mich schon Logisch, war ja auch vollkommener bloedsinn den ich geschrieben hab, wie mir jetzt auch klar ist.
Okay Also hat Q zu M3 zuzusagen den Abstand x und zu M2 bzw M1 den Abstand x+3 bzw x+6.

Das ist soweit richtig, ja?

Die x-1 und x+4 aus deinen Koordinaten hast du einfach durch Differenzenbildung der jeweiligen Punkte errechnet? Soweit versteh ich das.

Allerdings noch nicht was du mit dem Satz:

"Nun müssen die Differenzen deren Beträge den mittels der Laufzeitunterschiede ermittelten Wegdifferenzen gleichgesetzt werden. Dies ergibt zwei Gleichungen in x, y."

Welche Differenzen und welche Beträge? Die Länge der Vektoren? Ich glaub ich brauch da nochmal nen kleinen anschubser


Wäre dankbar für noch nen kleinen Tipp.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unsinn ist nicht der, den du geschrieben hast, sondern jener, der bereits in der Angabe verankert ist. Damit ist eine sinnvolle Lösung der Aufgabe gar nicht möglich.

Was mit den Differenzen der Wege gemeint war:

Erst müssen die einzelnen Strecken (Wege) M1X, M2X und M3X durch die Koordinaten der Endpunkte ausgedrückt werden. Dazu gibt es die Distanzformel, allgemein für eine Strecke A(x1; y1), B(x2; y2):



Soll nun dargestellt werden, dass die Wegedifferenz von M3Q und M1Q 3 km beträgt, so muss man die entsprechenden Koordinaten der Punkte dort einsetzen:



Entsprechendes gilt für M3Q und M2Q ...

Die dabei entstehenden Gleichungen müssen geometrisch solchen von Hyperbeln entsprechen, wie vordem schon beschrieben.

mY+
Master1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das hab ich soweit verstanden...allerdings sagst du das die Aufgabe nicht lösbar ist...das versteh ich nicht...die aufgabe kommt von unserem mathe prof und ist fier ne pruefungsvorleistung...was schreib ich ihm denn nun dahin?

Wenn ich das jetzt rechne komm ich aber doch auf eine loesung oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dass dies partout niemand einsehen will!

Es kommt wie gesagt auf die Angaben an. Mit den vorliegenden ist eine Lösung so gut wie ausgeschlossen (--> Dreiecksungleichung*). Es sei denn, man ändert die Werte entsprechend.

(*) In dem Dreieck der Basislänge M1M3 = 1 km kann der Längenunterschied von M3Q und M1Q nicht 3 km sein. Das würde bedeuten

c = 1
b - a = 3
-------------

Das ist ein Widerspruch zur Dreiecksungleichung, wonach (bei echten Dreiecken) gelten muss:

b < a + c
-->
b - a < c

Analoges gilt in dem Dreieck M2M3Q (mit M2M3 = 4 und der Längendifferenz 6)

Fazit: Der Herr Professor (der Aufgabensteller oder wer auch immer) hat bei der "Komposition" der Angaben zu wenig nachgedacht.

mY+
Master1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt hab ich auch verstanden was du mit der Dreiecksgleichung meinst, okay ist ganz klar vielen Dank für deine Hilfe.

Hat mir sehr geholfen, falls unser Dozent der Meinung sein sollte das die Aufgabe mit gegebenen Werten lösbar sein sollte, so werde ich dir den Lösungsweg hier einmal posten, dann bin ich gespannt wo unser lieber Dozent den Fehler gemacht hatsmile

Danke dir nochmalssmile
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