Untervektorraum

11.12.2011, 14:00

Lotha

Untervektorraum

Hallo,

ich muss beweisen das die folgende Menge ein Untervektorraum vom jeweiligen Vektorraum ist oder nicht. Die Menge ist $\begin{eqnarray*} M={x \in \mathbb R^3 | 2x_1+3x_2-x_3 = 1} \end{eqnarray*}$ und der Vektorraum ist $\begin{eqnarray*} V= \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ .
Nun hab ich ja die 3 Kriterien zum Untervektorraum. Erstes Kriterium ist ja der Untervektorraum darf nicht leer sein. Da hab ich nun die Schwierigkeit ob ich für die x-Werte irgendwelche Zahlen einsetzen soll, bei denen dann =1 steht. Also $\begin{eqnarray*} x_1=-1; x_2=3; x_3=0 \end{eqnarray*}$ dann kommt auch 1 raus und ich weis der Untervektorraum ist nicht leer. Aber wenn man bei dem 2. Kriterium $\begin{eqnarray*} x,y \in M gilt x+y \in M \end{eqnarray*}$ bekomm ich für das einsetzen $\begin{eqnarray*} 2(x_1+y_1)+3(x_2+y_2)-x_3-y_3 \end{eqnarray*}$
das umgeschrieben ergibt $\begin{eqnarray*} (2x_1+3x_2-x_3)+(2y_1+3y_2-y_3) \end{eqnarray*}$ und das ist ja 2 mal die 1 und dann kommt 2 raus und nicht 1.Dadurch ist dieses Menge kein Untervektorraum. Kann mir wär helfen ob ich das richtig gemacht habe oder einfach auf den komplett falschen Weg bin?

Lotha

11.12.2011, 14:08

Mulder

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RE: Untervektorraum
Hier ist der Analysis-Bereich, das ist aber eher Algebra. [Edit: Ah, ist schon verschoben]

Im Prinzip ist das schon richtig, was du da machst. Du hättest es dir aber auch einfacher machen können. Bei dem Punkt, dass M nicht leer sein darf, finde ich es immer am einfachsten, zu schauen, ob der Nullvektor drin ist - denn einen Nullvektor braucht jeder Vektorraum. Ist hier der Nullvektor enthalten?

Und bei der Abgeschlossenheit bezüglich Addition kannst du sonst auch ein ganz einfaches Beispiel angeben, zum Beispiel

(0,0,-1) + (0,0,-1) = (0,0,-2)

Also nicht abgeschlossen. Wenn du zeigen willst, DASS M ein Untervektorraum ist, dann muss man alles allgemein zeigen. Aber wenn man es widerlegen will, ist ein simples Gegenbeispiel schon ausreichend.

Aber deine allgemein gehaltene Methode funktioniert hier natürlich auch.

11.12.2011, 14:17

Lotha

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Ahh danke dir, jo hab nicht gewusst unter was dieses Thema fällt.
Nochmal dazu zu diesem Gegenbeispiel kann man da irgendeine Zahl für die x-Werte einsetzen so wie du das gemacht hast und damit zeigen das dann nicht 1 herauskommt? Da könnte ich ja auch schon einfach zu jedem Wert den Nullvektor addieren und dann kommt ja auch keine 1 heraus. Eine andere Frage ist, reicht schon zum widerlegen des Untervektorraumes das der Nullvektor nicht enthalten ist?

Lotha

11.12.2011, 14:22

Mulder

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Zitat:

Original von Lotha
Da könnte ich ja auch schon einfach zu jedem Wert den Nullvektor addieren und dann kommt ja auch keine 1 heraus.

Wieso das denn nicht?

Zitat:

Original von Lotha
Eine andere Frage ist, reicht schon zum widerlegen des Untervektorraumes das der Nullvektor nicht enthalten ist?

Klar. Ein Vektorraum ist doch bezüglich "+" eine abelsche Gruppe und eine solche Gruppe benötigt ein neutrales Element.

11.12.2011, 14:34

Lotha

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Ja hast recht mit dem addieren von dem nullvektoren hab ich doof ausgedrückt ist mir jetzt auch klar geworden wenn die x-Werte 1 ergeben und du null dazu addierst kommt ja 1 raus...
Ahh ok das hilft mir schon das man am besten immer schaut ob der nullvektor enthalten ist oder nicht.
Anderes Problem ist bei der Menge $\begin{eqnarray*} p\in P_3( \mathbb R )| p(o)=p(1)=0 \end{eqnarray*}$ in dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} V=P_3(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ . Hier muss ich ja diesmal mit einer Funktion arbeiten.
Der untervektorraum ist nicht leer da der 0 Vektor ja enthalten ist sieht man ja an $\begin{eqnarray*} p(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Bei der Addition bin ich mir noch unsicher, weil es sind ja eigentlich nur 2 Werte in der Menge enthalten die beide Null ergeben. Also addiere ich diese beiden und erhalte wieder null.
Bei der Multiplikation eines Elementes aus dem Vektorraum mit einem Element (nehmen wir mal p(0)) aus dem untervektorraum erhalte ich wieder 0 und damit ist dies ein Untervektorraum wieder. Hab ich dies jetzt richtig begriffen?

Lotha

11.12.2011, 14:38

Mulder

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Zitat:

Original von Lotha
Der untervektorraum ist nicht leer da der 0 Vektor ja enthalten ist sieht man ja an $\begin{eqnarray*} p(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Diese Begründung ist so aber nicht in Ordnung (oder zumindest schlampig formuliert). Was ist in diesem Raum das neutrale Element bezüglich "+" ? Was ist der "Nullvektor"?

Es sind ja einfach nur Polynome, die bei x=1 und x=0 Nullstellen besitzen. Wenn man zwei solche Polynome addiert, oder ein einzelnes solches Polynom mit einem Skalar multipliziert, bleiben die Nullstellen doch zwangsläufig erhalten - also ja, natürlich ist das ein Vektorraum.

Schreib's halt nur noch sauber auf...

11.12.2011, 14:46

Lotha

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Ja klar auf dem Blatt formulier ich es dann noch schön aus...
Hab nun ne andere doofe Frage was meinst du immer mit neutrales Element und dieses "+"?

Lotha

11.12.2011, 16:23

Mulder

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Lies einfach nochmal die formale Definition eines Vektorraums, da steht es drin.

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